已知橢圓C1數(shù)學(xué)公式的離心率為數(shù)學(xué)公式,橢圓上一點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的最大值為3,圓數(shù)學(xué)公式,點(diǎn)A是橢圓上的頂點(diǎn),點(diǎn)P是橢圓C1上不與橢圓頂點(diǎn)重合的任意一點(diǎn).
(1)求橢圓C1的方程;
(2)若直線AP與圓C2相切,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)若點(diǎn)M是橢圓C1上不與橢圓頂點(diǎn)重合且異于點(diǎn)P的任意一點(diǎn),點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)N,直線MP,NP分別交x軸于點(diǎn)E(x1,0),點(diǎn)F(x2,0),探究x1•x2是否為定值.若為定值,求出該定值;若不為定值,請(qǐng)說明理由.

解:(1)由題意,,∴a=2,c=1,∴b2=a2-c2=3,∴橢圓C1的方程為;
(2)由(1)知A(0,),且直線AP的斜率存在,設(shè)其斜率為k,則直線AP的方程為kx-y+=0
圓C2的圓心坐標(biāo)為(-4,),半徑為2
∵直線AP與圓C2相切,
=2

k=時(shí),直線方程代入橢圓方程可得5x2+8x=0,∴x=0或x=-,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-,-
同理可得k=-時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,-);
(3)設(shè)M(x3,y3),P(x4,y4),則N(x3,-y3),
由M,P,E三點(diǎn)共線,可得=,∴
同理由N,P,F(xiàn)三點(diǎn)共線,可得
∵M(jìn),P在橢圓上,∴,
∴x1•x2=×=4
∴x1•x2是定值,定值為4.
分析:(1)根據(jù)的離心率為,橢圓上一點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的最大值為3,建立方程組,即可求得橢圓C1的方程;
(2)設(shè)直線AP的方程為kx-y+=0,利用直線AP與圓C2相切,求得直線的斜率,從而可得點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)設(shè)M、P、N的坐標(biāo),利用M,P,E三點(diǎn)共線,N,P,F(xiàn)三點(diǎn)共線,結(jié)合M,P在橢圓上,即可求得x1•x2是定值.
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與圓相切,考查三點(diǎn)共線,正確確定橢圓方程是關(guān)鍵.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年湖北省黃岡市高三上學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

(本小題滿分13分)已知橢圓C1的離心率為,直線l: y-=x+2與.以原點(diǎn)為圓心、橢圓C1的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓O相切.

(1)求橢圓C1的方程;

(ll)設(shè)橢圓C1的左焦點(diǎn)為F1,右焦點(diǎn)為F2,直線l2過點(diǎn)F價(jià)且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸,動(dòng)直線l2垂直于l1,垂足為點(diǎn)P,線段PF2的垂直平分線交l2于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的軌跡C2的方程;

(III)過橢圓C1的左頂點(diǎn)A作直線m,與圓O相交于兩點(diǎn)R,S,若△ORS是鈍角三角形,     求直線m的斜率k的取值范圍.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:0108 期中題 題型:解答題

已知橢圓C1的離心率為,x軸被拋物線C2:y=x2-b截得的線段長(zhǎng)等于C1的長(zhǎng)半軸長(zhǎng),
(1)求C1,C2的方程;
(2)設(shè)C2與y軸的交點(diǎn)為M,過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l:y=kx與C2相交于A,B兩點(diǎn),直線MA,MB分別與C1相交于D,E,
①證明:為定值;
②記△MDE的面積為S,試把S表示成k的函數(shù),并求S的最大值。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:陜西省模擬題 題型:解答題

已知橢圓C1的離心率為,直線l:y=x+2與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓C1的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切,
(1)求橢圓C1的方程;
(2)設(shè)橢圓C1的左焦點(diǎn)為F1,右焦點(diǎn)為F2,直線l1過點(diǎn)F1,且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸,動(dòng)直線l2垂直l1于點(diǎn)P,線段PF2的垂直平分線交l2于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的軌跡C2的方程;
(3)若AC、BD為橢圓C1的兩條相互垂直的弦,垂足為右焦點(diǎn)F2,求四邊形ABCD的面積的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:陜西省模擬題 題型:解答題

已知橢圓C1的離心率為,直線l:y=x+2與以原點(diǎn)為圓心、橢圓C1的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓O相切。    
(Ⅰ)求橢圓C1的方程;  
(Ⅱ)設(shè)橢圓C1的左焦點(diǎn)為F1,右焦點(diǎn)為F2,直線l1過點(diǎn)F1,且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸,動(dòng)直線l2垂直于l1,垂足為點(diǎn)P,線段PF2的垂直平分線交l2于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的軌跡C2的方程;   
 (Ⅲ)過橢圓C1的左頂點(diǎn)A做直線m,與圓O相交于兩點(diǎn)R、S,若△ORS是鈍角三角形,求直線m的斜率k的取值范圍。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012年山東省棗莊市高考數(shù)學(xué)一模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知橢圓C1的離心率為,橢圓上一點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的最大值為3,圓,點(diǎn)A是橢圓上的頂點(diǎn),點(diǎn)P是橢圓C1上不與橢圓頂點(diǎn)重合的任意一點(diǎn).
(1)求橢圓C1的方程;
(2)若直線AP與圓C2相切,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)若點(diǎn)M是橢圓C1上不與橢圓頂點(diǎn)重合且異于點(diǎn)P的任意一點(diǎn),點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)N,直線MP,NP分別交x軸于點(diǎn)E(x1,0),點(diǎn)F(x2,0),探究x1•x2是否為定值.若為定值,求出該定值;若不為定值,請(qǐng)說明理由.

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