Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=2^x+1，若f（a）＜3，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-1，1）．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由函數(shù)在[0，+∞）上的解析式可得若f（x）=3，即2^x+1=3，解可得x=1，進(jìn)而分析可得函數(shù)在[0，+∞）上為增函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性可將不等式f（a）＜3轉(zhuǎn)化為|a|＜1，解可得a的取值范圍，即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=2^x+1，
若f（x）=3，即2^x+1=3，解可得x=1，
故不等式f（a）＜3可以轉(zhuǎn)化為f（a）＜f（1），
又由函數(shù)為偶函數(shù)，則f（a）＜f（1）可以轉(zhuǎn)化為f（|a|）＜f（1），
又由當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=2^x+1，
則f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，
即有|a|＜1，
解可得-1＜a＜1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-1，1）
故答案為：（-1，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，解題時(shí)注意函數(shù)奇偶性與圖象的對(duì)稱性之間的關(guān)系．