Question

14．已知函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的一個(gè)對稱中心為（$\frac{π}{3}$，0），則要得到函數(shù)y=f′（x）的圖象，只需把函數(shù)f（x）的圖象（　�。�

• A． 沿x軸向左平移$\frac{π}{2}$個(gè)單位，縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍
• B． 沿x軸向右平移$\frac{π}{2}$個(gè)單位，縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍
• C． 沿x軸向左平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位，縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍
• D． 沿x軸向右平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位，縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍

Answer 1

分析 先求得f′（x）的解析式，再利用誘導(dǎo)公式、函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．

解答 解：函數(shù)y=f′（x）=[sin（2x+φ）]′=2cos（2x+φ），
∵函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的一個(gè)對稱中心為（$\frac{π}{3}$，0），
∴2•$\frac{π}{3}$+φ=kπ，k∈Z，∴φ=$\frac{π}{3}$，∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），∴f′（x）=2cos（2x+$\frac{π}{3}$）=2sin（2x+$\frac{5π}{6}$）=2sin2（x+$\frac{5π}{12}$）．
把函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）=sin2（x+$\frac{π}{6}$）的圖象沿x軸向左平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位，可得y=sin2（x+$\frac{5π}{12}$）的圖象，
再把縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍，可得f′（x）=2sin2（x+$\frac{5π}{12}$）的圖象，
故選：C．

點(diǎn)評 本題主要考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，統(tǒng)一這兩個(gè)三角函數(shù)的名稱，是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．