Question

1．O是平面上一定點，△ABC中AB=AC，一動點P滿足：$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），λ∈（0，+∞），則直線AP通過△ABC的①②③④（請在橫線上填入正確的編號）
①外心    ②內(nèi)心    ③重心    ④垂心．

Answer 1

分析 設(shè)出BC的中點D，由題意可得$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=λ（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$=2$λ\overrightarrow{AD}$，可得A、P、D三點共線，進(jìn)而可得答案．

解答 解：設(shè)BC中點為D，則AD為△ABC中BC邊上的中線，
由向量的運算法則可得$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}$，
可得$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=λ（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$=2$λ\overrightarrow{AD}$，可得A、P、D三點共線，
又AB=AC，所以點P一定過△ABC的重心、外心、內(nèi)心、垂心，
答案為：①②③④．

點評 本題主要考查平面向量的基本定理和向量的共線定理．屬中檔題．