Question

4．在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=8$\sqrt{2}cos（θ-\frac{3π}{4}）$，曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=8cosθ\\ y=3sinθ\end{array}\right.（θ$為參數(shù)）．
（Ⅰ）將曲線C₁的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，將曲線C₂的參數(shù)方程化為普通方程；
（Ⅱ）若P為C₂上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l：$\left\{\begin{array}{l}x=3+2t\\ y=-2+t\end{array}\right.（t$為參數(shù)）的距離的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)極坐標(biāo)方程，然后方程的兩邊同乘以ρ，再利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進(jìn)行代換即得．消去參數(shù)求解參數(shù)方程的普通方程即可．
（Ⅱ）設(shè)P（8cosθ，3sinθ），求出直線的普通方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式，通過兩角和與差的三角函數(shù)，求解最值即可．

解答 解：（Ⅰ）由$ρ=8\sqrt{2}cos（θ-\frac{3π}{4}）$得ρ=-8cosθ+8sinθ，
所以ρ²=-8ρcosθ+8ρsinθ，故曲線C₁的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=-8x+8y，
即（x+4）²+（y-4）²=32，…（3分）
由$\left\{\begin{array}{l}x=8cosθ\\ y=3sinθ\end{array}\right.$消去參數(shù)θ得C₂的普通方程為$\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{9}=1$．…（5分）
（Ⅱ）設(shè)P（8cosθ，3sinθ），直線l：$\left\{\begin{array}{l}x=3+2t\\ y=-2+t\end{array}\right.（t$為參數(shù)）的普通方程為x-2y-7=0，…（7分）
故點(diǎn)P到直線l的距離為$d=\frac{{\sqrt{5}}}{5}|{8cosθ-6sinθ-7}|=\frac{{\sqrt{5}}}{5}|{10cos（θ+φ）-7}|$（其中$cosφ=\frac{4}{5}，sinφ=\frac{3}{5}$），
因此當(dāng)$cos（θ+ϕ）=\frac{7}{10}$時(shí)，d_min=0，故點(diǎn)P到直線l的距離的最小值0．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置，體會(huì)在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中刻畫點(diǎn)的位置的區(qū)別，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化．考查點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，兩角和與差的三角函數(shù)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．