Question

已知邊長為2的等邊△ABC，O為△ABC的重心．有

OA1

=

1

2

（

OA

+

OB

），

OB1

=

1

2

（

OB

+

OC

），

OC1

=

1

2

（

OC

+

OA

），由A₁，B₁，C₁三點構成一個新的△A₁B₁C₁，面積記為S₁；

OA2

=

1

2

（

OA1

+

OB1

），

OB2

=

1

2

（

OB1

+

OC1

），

OC2

=

1

2

（

OC1

+

OA1

），再由A₂，B₂，C₂三點構成一個新的△A₂B₂C₂，面積記為S₂；

OA3

=

1

2

（

OA2

+

OB2

），

OB3

=

1

2

（

OB2

+

OC2

），

OC3

=

1

2

（

OC2

+

OA2

），再由A₃，B₃，C₃三點構成一個新的△A₃B₃C₃，面積記為S₃．按照上述規(guī)則依次作下去，作得第n個三角形為△A_nB_nC_n，面積記為S_n．
（1）求證：數(shù)列{S_n}為等比數(shù)列；
（2）令T_n=-S_nlog₄

Sn

3

，求S=T₁+T₂+T₃+…+T_n的和值．

Answer 1

考點：數(shù)列的應用,數(shù)列與向量的綜合

專題：計算題,證明題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）分析可知，面積是下一個三角形面積的4倍，從而證明是等比數(shù)列，（2）化簡T_n，用錯位相減法求和．

解答： 解：（1）證明：由

OA1

=

1

2

（

OA

+

OB

）知，A₁是邊AB的中點，
同理，B₁，C₁分別是邊BC、CA的中點，
則△A₁B₁C₁的面積是△ABC的面積的

1

4

，
同理，△A_nB_nC_n的面積是△A_n-1B_n-1C_n-1的面積的

1

4

，
即S_n=

1

4

S_n-1；且S₁=

1

4

×

1

2

×2×

3

=

3

4

；
∴數(shù)列{S_n}是以

3

4

為首項，

1

4

為公比的等比數(shù)列．
（2）由（1）知，S_n=

3

4

×（

1

4

）^n-1=

3

（

1

4

）ⁿ；
T_n=-S_nlog₄

Sn

3

=-=

3

（

1

4

）ⁿlog₄

3 ( 1 4 )n

3

=

3

n(

1

4

)n；
S=T₁+T₂+T₃+…+T_n=

3

（

1

4

+2×

1

42

+3×

1

43

+…+n×

1

4n

）①，
4S=

3

（1+2×

1

4

+3×

1

42

+4×

1

43

+…+n×

1

4n-1

）②，
②-①得，
3S=

3

（1+

1

4

+

1

42

+

1

43

+…+

1

4n-1

-n×

1

4n

），

3

S=

1(1- 1 4n )

1- 1 4

-

n

4n

，
S=

4 3

9

-

3

9•4n-1

-

3 n

3•4n

．

點評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應用，化簡比較困難，屬于難題．