Question

在數(shù)列{a_n}和{b_n}中，a_n=aⁿ，b_n=（a+1）n+b，n=1，2，3，…，其中a≥2且a∈N^*，b∈R．
（Ⅰ）若a₁=b₁，a₂＜b₂，求數(shù)列{b_n}的前n項和；
（Ⅱ）證明：當(dāng)a=2，b=

2

時，數(shù)列{b_n}中的任意三項都不能構(gòu)成等比數(shù)列；
（Ⅲ）設(shè)A={a₁，a₂，a₃，…}，B={b₁，b₂，b₃，…}，試問在區(qū)間[1，a]上是否存在實數(shù)b使得C=A∩B≠∅．若存在，求出b的一切可能的取值及相應(yīng)的集合C；若不存在，試說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）因為a₁=b₁，所以a=a+1+b，b=-1，（1分）
由a₂＜b₂，得a²-2a-1＜0，
所以1-

2

＜a＜1+

2

，（3分）
因為a≥2且a∈N^*，所以a=2，（4分）
所以b_n=3n-1，{b_n}是等差數(shù)列，
所以數(shù)列{b_n}的前n項和Sn=

n

2

(b1+bn)=

3

2

n2+

1

2

n．（5分）
（Ⅱ）由已知bn=3n+

2

，假設(shè)3m+

2

，3n+

2

，3t+

2

成等比數(shù)列，其中m，n，t∈N^*，且彼此不等，
則(3n+

2

)2=(3m+

2

)(3t+

2

)，（6分）
所以9n2+6

2

n+2=9mt+3

2

m+3

2

t+2，
所以3n2-3mt=(m+t-2n)

2

，
若m+t-2n=0，則3n²-3mt=0，可得m=t，與m≠t矛盾；（7分）
若m+t-2n≠0，則m+t-2n為非零整數(shù)，(m+t-2n)

2

為無理數(shù)，
所以3n²-3mt為無理數(shù)，與3n²-3mt是整數(shù)矛盾．（9分）
所以數(shù)列{b_n}中的任意三項都不能構(gòu)成等比數(shù)列．
（Ⅲ）設(shè)存在實數(shù)b∈[1，a]，使C=A∩B≠∅，
設(shè)m₀∈C，則m₀∈A，且m₀∈B，
設(shè)m₀=a^t（t∈N^*），m₀=（a+1）s+b（s∈N^*），
則a^t=（a+1）s+b，所以s=

at-b

a+1

，
因為a，t，s∈N^*，且a≥2，所以a^t-b能被a+1整除．（10分）
（1）當(dāng)t=1時，因為b∈[1，a]，a-b∈[0，a-1]，
所以s=

a-b

a+1

∉N*；（11分）
（2）當(dāng)t=2n（n∈N^*）時，a²ⁿ-b=[（a+1）-1]²ⁿ-b=（a+1）²ⁿ+-C_2n¹（a+1）+1-b，
由于b∈[1，a]，所以b-1∈[0，a-1]，0≤b-1＜a+1，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)b=1時，a^t-b能被a+1整除．（12分）
（3）當(dāng)t=2n+1（n∈N^*）時，a²ⁿ⁺¹-b=[（a+1）-1]²ⁿ⁺¹-b=（a+1）²ⁿ⁺¹++C_2n+1¹（a+1）-1-b，
由于b∈[1，a]，所以b+1∈[2，a+1]，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)b+1=a+1，即b=a時，a^t-b能被a+1整除．（13分）
綜上，在區(qū)間[1，a]上存在實數(shù)b，使C=A∩B≠∅成立，且當(dāng)b=1時，C={y|y=a²ⁿ，n∈N^*}；當(dāng)b=a時，C={y|y=a²ⁿ⁺¹，n∈N}．