(2013•東城區(qū)二模)已知函數(shù)f(x)=lnx+
a
x
(a>0).
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)如果P(x0,y0)是曲線y=f(x)上的點(diǎn),且x0∈(0,3),若以P(x0,y0)為切點(diǎn)的切線的斜率k≤
1
2
恒成立,求實數(shù)a的最小值.
分析:(1)先求導(dǎo)數(shù),然后解導(dǎo)數(shù)不等式,可求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
(2)求出導(dǎo)數(shù)得到切線的斜率,利用斜率關(guān)系求實數(shù)a的最小值.
解答:解:(Ⅰ) f(x)=lnx+
a
x
,定義域為(0,+∞),
f′(x)=
1
x
-
a
x2
=
x-a
x2

因為a>0,由f'(x)>0,得x∈(a,+∞),由f'(x)<0,得x∈(0,a),
所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(a,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,a).
(Ⅱ)由題意,以P(x0,y0)為切點(diǎn)的切線的斜率k滿足k=f′(x0)=
x0-a
x
2
0
1
2
(0<x0<3),
所以a≥-
1
2
x02+x0
對0<x0<3恒成立.
又當(dāng)x0>0時,-
3
2
<-
1
2
x02+x0
1
2

所以a的最小值為
1
2
點(diǎn)評:本題考查導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系,以及利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率.熟練掌握各種導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算是解決導(dǎo)數(shù)問題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•東城區(qū)二模)已知函數(shù)f(x)=lnx+
a
x
(a>0).
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)如果P(x0,y0)是曲線y=f(x)上的任意一點(diǎn),若以P(x0,y0)為切點(diǎn)的切線的斜率k≤
1
2
恒成立,求實數(shù)a的最小值;
(3)討論關(guān)于x的方程f(x)=
x3+2(bx+a)
2x
-
1
2
的實根情況.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•東城區(qū)二模)f(x)=
-
2
x
 ,   x<0
3+log2x ,  x>0
,則f(f(-1))等于(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•東城區(qū)二模)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),可以斷定函數(shù)f(x)=lnx-
3
x
的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(  )
x 1 2 e 3 5
lnx 0 0.69 1 1.10 1.61
3
x
3 1.5 1.10 1 0.6

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•東城區(qū)二模)對定義域的任意x,若有f(x)=-f(
1
x
)
的函數(shù),我們稱為滿足“翻負(fù)”變換的函數(shù),下列函數(shù):
y=x-
1
x

②y=logax+1,
y=
x,0<x<1
0,x=1
-
1
x
,x>1

其中滿足“翻負(fù)”變換的函數(shù)是
①③
①③
. (寫出所有滿足條件的函數(shù)的序號)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•東城區(qū)二模)已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x∈(-∞,0)時,f(x)+xf′(x)<0(其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)),若a=(30.3)•f(30.3),b=(logπ3)•f(logπ3),c=(log3
1
9
)•f(log3
1
9
),則a,b,c的大小關(guān)系是(  )

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