Question

已知函數f（x）=x²ln（ax）（a＞0）
（1）若f′（x）≤x²對任意的x＞0恒成立，求實數a的取值范圍；
（2）當a=1時，設函數g(x)=

f(x)

x

，若x1，x2∈(

1

e

，1)，x1+x2＜1，求證x₁x₂＜（x₁+x₂）⁴．

Answer 1

分析：（1）先求出導數：f'（x）=2xln（ax）+x欲使得f'（x）=2xln（ax）+x≤x²，即2lnax+1≤x在x＞0上恒成立，設u（x）=2lnax+1-x再利用導數研究此函數的最大值，即可求得實數a的取值范圍；
（2）當a=1時，g(x)=

f(x)

x

=xlnx，利用導數得到g（x）在(

1

e

，+∞)上g（x）是增函數，(0，

1

e

)上是減函數從而得出lnx1＜

x1+x2

x1

ln(x1+x2)，同理lnx2＜

x1+x2

x2

ln(x1+x2)兩式相加化簡即可證得結論．

解答：解：（1）f'（x）=2xln（ax）+x（1分）f'（x）=2xln（ax）+x≤x²，即2lnax+1≤x在x＞0上恒成立
設u（x）=2lnax+1-xu′(x)=

2

x

-1=0，x=2，x＞2時，單調減，
x＜2單調增，所以x=2時，u（x）有最大值u（2）（3分）
u（2）≤0，2ln2a+1≤2，所以0＜a≤

e

2

（5分）
（2）當a=1時，g(x)=

f(x)

x

=xlnx，g(x)=1+lnx=0，x=

1

e

，
所以在(

1

e

，+∞)上g（x）是增函數，(0，

1

e

)上是減函數（6分）
因為

1

e

＜x1＜x1+x2＜1，所以g（x₁+x₂）=（x₁+x₂）ln（x₁+x₂）＞g（x₁）=x₁lnx₁
即lnx1＜

x1+x2

x1

ln(x1+x2)
同理lnx2＜

x1+x2

x2

ln(x1+x2)（8分）
所以lnx1+lnx2＜(

x1+x2

x2

+

x1+x2

x1

)ln(x1+x2)=(2+

x1

x2

+

x2

x1

)ln(x1+x2)
又因為2+

x1

x2

+

x2

x1

≥4，當且僅當“x₁=x₂”時，取等號（10分）
又x1，x2∈(

1

e

，1)，x1+x2＜1，ln（x₁+x₂）＜0（11分）
所以(2+

x1

x2

+

x2

x1

)ln(x1+x2)≤4ln(x1+x2)
所以lnx₁+lnx₂＜4ln（x₁+x₂）
所以：x₁x₂＜（x₁+x₂）⁴（12分）

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、導數在最大值、最小值問題中的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想．屬于基礎題．