Question

13．已知函數(shù)f（x）=2.5cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示，M、N兩點之間的距離為13，且f（3）=0，若將函數(shù)f（x）的圖象向右平移t（t＞0）個單位長度后所得函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，則t的最小值為（　�。�

• A． 7
• B． 8
• C． 9
• D． 10

Answer 1

分析 由已知可求周期，利用周期公式可求ω，由f（3）=0，結(jié)合范圍|φ|＜$\frac{π}{2}$，解得φ，利用三角函數(shù)平移變換的規(guī)律可求將函數(shù)f（x）的圖象向右平移t（t＞0）個單位長度后所得函數(shù)的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式，利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得：-$\frac{π}{13}$t+$\frac{7π}{26}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：t=-13k-3，k∈Z，從而可求正數(shù)t的最小值．

解答 解：∵M(jìn)、N兩點之間的距離為13，可得$\frac{2π}{ω}$=2×13，
∴解得：ω=$\frac{π}{13}$，
∵f（3）=0，可得：2.5cos（$\frac{π}{13}$×3+φ）=0，
∴解得：$\frac{π}{13}$×3+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可得：φ=kπ+$\frac{7π}{26}$，k∈Z，
由于|φ|＜$\frac{π}{2}$，解得：φ=$\frac{7π}{26}$，
∴將函數(shù)f（x）的圖象向右平移t（t＞0）個單位長度后所得函數(shù)的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為：y=2.5cos[$\frac{π}{13}$×（x-t）+$\frac{7π}{26}$]=2.5cos（$\frac{π}{13}$x-$\frac{π}{13}$t+$\frac{7π}{26}$），
∵函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，可得：-$\frac{π}{13}$t+$\frac{7π}{26}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：t=-13k-3，k∈Z．
∴當(dāng)k=-1時，正數(shù)t的最小值為10．
故選：D．

點評 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角函數(shù)平移變換的規(guī)律，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．