Question

CD為直角三角形ABC中斜邊AB上的高，已知△ACD、△CBD、△ABC的面積成等比數(shù)列，求∠B（用反三角函數(shù)表示）．

Answer 1

【答案】分析：要用反三角函數(shù)表示∠B，關(guān)鍵是要解三角形，求出含B的三角形中對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)，再利用三角函數(shù)的定義求出∠B的一個(gè)三角函數(shù)值，再用反三角函數(shù)表示∠B．
解答：解：設(shè)CD=h，AB=c，BD=x，則AD=c-x
因此，△ACD的面積為，
△CBD的面積為，△ABC的面積為，依題意，
，
即x²=c（c-x），即x²+cx-c²=0，
．
∵取負(fù)號(hào)不合題意，∴取正號(hào)，得．
又依直角三角形的性質(zhì)，有AC²=AD•AB=c（c-x）．
但x²=c（c-x），∴AC²=x²，∴AC=x=DB=．
在直角三角形ABC中，．
故．
點(diǎn)評(píng)：在雙垂直問(wèn)題（即過(guò)直角三角形的直角頂點(diǎn)做斜邊上的高）中，要善于利用勾股定理、射影定理去尋求邊與邊之間的關(guān)系．