已知函數(shù)f(x)=2sin(2x+
π
6
)+1

(1)求f(x)的最小正周期及振幅;
(2)試判斷f(
π
6
-x)
f(
π
6
+x)
的大小關(guān)系,并說(shuō)明理由.
(3)若x∈[-
π
6
,
π
3
]
,求f(x)的最大值和最小值.
分析:(1)由y=Asin(ωx+φ)型函數(shù)中參數(shù)的幾何意義及周期計(jì)算公式,即可得f(x)的最小正周期及振幅;(2)可以利用誘導(dǎo)公式分別化簡(jiǎn)兩個(gè)函數(shù)式來(lái)進(jìn)行證明,也可先證明x=
π
6
是函數(shù)的一條對(duì)稱軸,從而證明兩式相等;(3)先求內(nèi)層函數(shù)的值域,再利用正弦函數(shù)的圖象求函數(shù)f(x)在[-
π
6
,
π
3
]
上的最大值和最小值
解答:解:(1)f(x)的最小正周期為T=
2
,振幅A=2
(2)f(
π
6
+x)
=f(
π
6
-x)

法一:因?yàn)?span id="yismkk0" class="MathJye">f(
π
6
+x)=2sin(
π
3
+2x+
π
6
)+1=2sin(2x+
π
2
)+1=2cos2x+1

f(
π
6
-x)
=2sin(
π
3
-2x+
π
6
)+1=2sin(
π
2
-2x)+1=2cos2x+1

所以f(
π
6
+x)
=f(
π
6
-x)

法二:因?yàn)?span id="8ok00oc" class="MathJye">f(
π
6
)=2sin(
π
3
+
π
6
)+1=2sin
π
2
+1=3為函數(shù)的最大值,
所以x=
π
6
是函數(shù)的一條對(duì)稱軸,所以f(
π
6
+x)
=f(
π
6
-x)

(2)∵x∈[-
π
6
,
π
3
]

-
π
6
≤2x+
π
6
6

-
1
2
≤sin(2x+
π
6
)≤1

-1≤2sin(2x+
π
6
)≤2

∴0≤f(x)≤3
∴f(x)的最小值為0; f(x)的最大值為3.
點(diǎn)評(píng):本題考查了y=Asin(ωx+φ)型函數(shù)的圖象和性質(zhì),函數(shù)的對(duì)稱性和函數(shù)值域的求法,正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用
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2-xx+1
;
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x
,x>0
,則f[f(-2)]=
3
3

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3
2
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3
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2-2cosx
+
2-2cos(
3
-x)
,x∈[0,2π],則當(dāng)x=
3
3
時(shí),函數(shù)f(x)有最大值,最大值為
2
3
2
3

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