Question

某市某社區(qū)擬選拔一批綜合素質(zhì)較強(qiáng)的群眾，參加社區(qū)的義務(wù)服務(wù)工作．假定符合參加選拔條件的每個(gè)選手還需要進(jìn)行四輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問題，能正確回答問題者進(jìn)入下一輪考核，否則即被淘汰．已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪問題的概率分別為

4

5

，

3

4

，

1

2

，

1

3

且各輪問題能否正確回答互不影響．
（1）求該選手進(jìn)入第四輪才被淘率的概率；
（2）該選手在選拔過程中回答過的問題的總個(gè)數(shù)記為X，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望．（注：本小題結(jié)果可用分?jǐn)?shù)表示）

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）記“該選手能正確回答第i輪的問題”的事件為A_i（i=1，2，3，4），則P(A1)=

4

5

，P(A2)=

3

4

，P(A3)=

1

2

，P(A4)=

1

3

，由此能求出該選手進(jìn)入第四輪才被淘率的概率．
（2）X的可能值為1、2、3、4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）記“該選手能正確回答第i輪的問題”的事件為A_i（i=1，2，3，4），
則P(A1)=

4

5

，P(A2)=

3

4

，P(A3)=

1

2

，P(A4)=

1

3

．（2分）
∴該選手進(jìn)入第四輪才被淘率的概率：
P=P(A1A2A3

.

A4

)=P(A1)P(A2)P(A3)P(

.

A4

)=

4

5

×

3

4

×

1

2

×

2

3

=

1

5

．（5分）
（2）X的可能值為1、2、3、4，
P(X=1)=P(

.

A1

)=

1

5

，
P(X=2)=P(A1

.

A2

)=P(A1)P(

.

A2

)=

4

5

×

1

4

=

1

5

，
P(X=3)=P(A1A2

.

A3

)=P(A1)P(A2)P(

.

A3

)=

4

5

×

3

4

×

1

2

=

3

10

=

4

5

×

3

4

×

1

2

=

3

10

，
P(X=4)=P(A1A2A3A4)+P(A1A2A3

.

A4

)=P(A1)P(A2)P(A3)P(A4+

.

A4

)=

4

5

×

3

4

×

1

2

×1=

3

10

．（9分）
∴X的分布列為：

X	1	2	3	4
P	1 5	1 5	3 10	3 10

（11分）
∴E(X)=1×

1

5

+2×

1

5

+3×

3

10

+4×

3

10

=

27

10

．（12分）

點(diǎn)評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．