Question

已知C為圓是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在圓的半徑CP上，且．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡E的方程．
（2）一直線l，原點(diǎn)到l的距離為．（i）求證直線l與曲線E必有兩個(gè)交點(diǎn)．
（ii）若直線l與曲線E的兩個(gè)交點(diǎn)分別為G、H，求△OGH的面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設(shè)知，MQ⊥AP，QM是P的中垂線，又，
根據(jù)橢圓的定義，點(diǎn)Q軌跡是以C（-，0），A（，0）為焦點(diǎn)，長軸長為2的橢圓，由此可知點(diǎn)Q的軌跡方程．
（2）（i）當(dāng)直線l垂直x軸時(shí)，由題意知：，取代入曲線E的方程得：，即G（，），H（，-）有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)直線l不垂直x軸時(shí)，設(shè)直線l的方程為：y=kx+b，由此入手可知直線l必與橢圓E交于兩點(diǎn)
（ii）當(dāng)直線l垂直x軸時(shí)，，當(dāng)直線l不垂直x軸時(shí)，設(shè)G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），再由根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合題設(shè)條件可求出△OGH的面積的最小值．
解答：解：（Ⅰ）圓，半徑
∵，
∴MQ⊥AP，點(diǎn)M是AP的中點(diǎn)，即QM是P的中垂線，連接AQ，則|AQ|=|QP|
∴
又，
根據(jù)橢圓的定義，點(diǎn)Q軌跡是以C（-，0），A（，0）為焦點(diǎn)，長軸長為2的橢圓，
由，因此點(diǎn)Q的軌跡方程為．

（Ⅱ）（1）證明：當(dāng)直線l垂直x軸時(shí)，由題意知：，
不妨取代入曲線E的方程得：
即G（，），H（，-）有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
當(dāng)直線l不垂直x軸時(shí)，設(shè)直線l的方程為：y=kx+b
由題意知：
由
∵△=36k²b²-4（1+3k²）（3b²-3）=12（3k²-b²+1）=27k²+3＞0
∴直線l與橢圓E交于兩點(diǎn)，綜上，直線l必與橢圓E交于兩點(diǎn)

（2）由（1）知當(dāng)直線l垂直x軸時(shí)，
當(dāng)直線l不垂直x軸時(shí)，設(shè)G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
由（1）知
=
=
=
=
=

當(dāng)且僅當(dāng)，則取得“=”，
∴
當(dāng)k=0時(shí)，．
綜上，△OGH的面積的最小值為．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的直線與圓錐問題的綜合問題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．