Question

8．對(duì)于函數(shù)f（x）=log${\;}_{2}^{2}$x-a•log₂x²，x∈[1，4]，a∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小值g（a）；
（2）是否存在實(shí)數(shù)m、n，同時(shí)滿足以下條件：①m＞n≥0；②當(dāng)函數(shù)g（a）的定義域?yàn)閇n，m]時(shí)，值域?yàn)閇-m，-n]，若存在，求出所有滿足條件的m、n的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用換元法求函數(shù)的最值．
（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，結(jié)合定義域和值域之間的關(guān)系進(jìn)行討論即可．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）設(shè)t=log₂x，
∵x∈[1，4]，
∴t∈[0，2]，
f（x）=t²-2at=（t-a）²-a²，
當(dāng)t=a，即x=2^a時(shí)，f（x）_min=g（a）=-a²．…（6分）
（2）∵m＞n≥0，
∴g（a）=-a²在[0，∞）上為減函數(shù)，…（8分）
又∵g（a）的定義域?yàn)閇n，m]，值域?yàn)閇-m，-n]，
∴-n²=-n，-m²=-m，
∴m=n=1，這與m＞n≥0矛盾．故滿足條件的m，n不存在．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)與方程的關(guān)系，同時(shí)考查了換元法求函數(shù)的最值，要求熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．