Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD=60°，N是PB的中點(diǎn)，過A、D、N三點(diǎn)的平面交PC于M，E為AD的中點(diǎn)，求證：
（1）EN∥平面PDC；
（2）BC⊥平面PEB；
（3）平面PBC⊥平面ADMN．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）先證明AD∥MN由N是PB的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形得EN∥DM，DM?平面PDC，可得EN∥平面PDC；
（2）由側(cè)面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，E為AD的中點(diǎn)，得PE⊥AD，PE⊥EB，PE⊥BC，由∠BAD=60°，AB=2，AE=1，由余弦定理可得BE=

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，由正弦定理可得：BE⊥AD，有由AD∥BC可得BE⊥BC，可得BC⊥平面PEB；
（3）由（2）知BC⊥平面PEB，EN?平面PEB可得PB⊥MN，由AP=AB=2，N是PB的中點(diǎn)，得PB⊥AN，有MN∩AN=N．PB⊥平面ADMN，可證平面PBC⊥平面ADMN．

解答： 解：（1）∵AD∥BC，AD?平面ADMN，BC?平面ADMN，
∴BC∥平面ADMN，
∵M(jìn)N=平面ADMN∩平面PBC，BC?平面PBC，
∴BC∥MN．
又∵AD∥BC，
∴AD∥MN．∴ED∥MN
∵N是PB的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∴ED=MN=1
∴四邊形ADMN是平行四邊形．
∴EN∥DM，DM?平面PDC，
∴EN∥平面PDC；
（2）∵側(cè)面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，E為AD的中點(diǎn)，
∴PE⊥AD，PE⊥EB，PE⊥BC
∵∠BAD=60°，AB=2，AE=1，由余弦定理可得BE=

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，由正弦定理可得：BE⊥AD
∴由AD∥BC可得BE⊥BC，
∵BE∩PE=E
∴BC⊥平面PEB；
（3）∵由（2）知BC⊥平面PEB，EN?平面PEB
∴BC⊥EN
∵PB⊥BC，PB⊥AD
∴PB⊥MN
∵AP=AB=2，N是PB的中點(diǎn)，
∴PB⊥AN，
∴MN∩AN=N．PB⊥平面ADMN，
∵PB?平面PBC
∴平面PBC⊥平面ADMN．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，屬于基本知識(shí)的考查．