Question

已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，且經(jīng)過點P（1，）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的右焦點，M為橢圓上一點，以M為圓心，MF為半徑作圓M．問點M滿足什么條件時，圓M與y軸有兩個交點？
（3）設(shè)圓M與y軸交于D、E兩點，求點D、E距離的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)橢圓的離心率和經(jīng)過點P建立關(guān)于a，b的方程組，解之即可求出橢圓的標準方程；
（2）設(shè)M（x，y），則+=1，求出圓M的方程，令x=0，化簡得到關(guān)于y的方程，然后利用判別式△＞0，可求出x的范圍．
（3）設(shè)D（0，y₁），E（0，y₂），其中y₁＜y₂．由（2），得DE=y₂-y₁轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的二次函數(shù)求最值進行求解即可．
解答：解：（1）∵橢圓+=1（a＞b＞0）的離心率為，且經(jīng)過點P（1，），
∴，即，解得，
∴橢圓C的方程為+=1．
（2）易求得F（1，0）．設(shè)M（x，y），則+=1，-2＜x＜2
圓M的方程為（x-x）²+（y-y）²=（1-x）²+y²，
令x=0，化簡得y²-2yy+2x-1=0，△=4y²-4（2x-1）＞0①．
將y²=3（1-）代入①，得3x²+8x-16＜0，解出-4＜x＜．
∴-2＜x＜．
（3）設(shè)D（0，y₁），E（0，y₂），其中y₁＜y₂．由（2），得
DE=y₂-y₁===，
當x=-時，DE的最大值為．
點評：本題主要考查了橢圓的標準方程，以及直線與圓的位置關(guān)系和線段的最值問題，是一道綜合題，有一定的難度．