7．已知雙曲線$C：\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$的左焦點為F，P為雙曲線C右支上的動點，A（0，4），則△PAF周長的最小值為14．

分析 求出右焦點H的坐標，由雙曲線的定義可得|PF|+|PA|=2a+|PH|+|PA|≥2a+|AH|，求得2a+|AH|的值，即可求出△PAF周長的最小值．

解答 解：∵F是雙曲線$C：\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$的左焦點，
∴a=2，b=$\sqrt{5}$，c=3，F(xiàn)（-3，0 ），右焦點為H（3，0），
由雙曲線的定義可得|PF|-|PH|=2a=4，
|PF|+|PA|=2a+|PH|+|PA|
≥2a+|AH|=4+$\sqrt{9+16}$=4+5=9，
∵|AF|=$\sqrt{9+16}$=5，
∴當且僅當A，P，H共線時，△PAF周長取得最小值為9+5=14．
故答案為：14．

點評 本題考查雙曲線的定義和雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用，把|PF|+|PA|化為2a+|PH|+|PA|是解題的關鍵．

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