Question

3．在平行四邊形ABCD中，A（1，1）、B（7，3）、D（4，6），點M是線段AB的中點線段CM與BD交于點P．
（1）求直線CM的方程；
（2）求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$，可得$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}$．利用中點坐標公式可得：點M坐標（4，2）．利用斜率計算公式與中點坐標公式即可得出．
（2）利用斜率計算公式可得k_BD=-1，利用點斜式可得BD直線方程，聯(lián)立解出即可得出．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}$=（7，3）+（4，6）-（1，1）=（10，8）．
∴C點坐標C（10，8）．
由中點坐標公式可得：點M坐標（$\frac{1+7}{2}$，$\frac{1+3}{2}$），即（4，2）．
k_CM=$\frac{8-2}{10-4}$=1，
得出直線CM方程y-2=x-4，可得：x-y-2=0．
（2）k_BD=$\frac{6-3}{4-7}$=-1，
∴BD直線方程y-6=-（x-4），x+y-10=0，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2=0}\\{x+y-10=0}\end{array}\right.$，
解得x=6，y=4，
所以點P坐標為（6，4）．

點評 本題考查了平行四邊形的性質、向量的坐標運算性質、點斜式、直線的交點，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．