Question

設(shè)y=f^-1（x）是函數(shù)f（x）=2^x+1的反函數(shù)，若f^-1（a）+f^-1（b）=0，則a+b的最小值為    ．

Answer 1

【答案】分析：求出原函數(shù)的反函數(shù)，得到f^--1（x），再結(jié)合題中條件方程f^-1（a）+f^-1（b）=0，化簡，利用基本不等式求a+b的最小值．
解答：解：∵函數(shù)f（x）=2^x+1的反函數(shù)為f^--1（x）=log₂x-1，
∴由f^-1（a）+f^-1（b）=0得：
log₂a-1+log₂b-1=0，
∴ab=4，a＞0，b＞0．
根據(jù)基本不等式得：
∴a+b≥2 =4，（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時取等號）．
則a+b的最小值是4．
故答案為：4．
點評：本題用到的知識比較豐富，具有綜合性特點，涉及了反函數(shù)、指數(shù)式和對數(shù)式的互化、對數(shù)的運算、由基本不等式 求最值等多方面的知識，是這些內(nèi)容的有機融合，思維密度較大；解題中用注意對數(shù)的運算公式化簡log₂a+log₂b=2得a、b的關(guān)系式．