Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₁=1，S_n=na_n-n（n-1）（n=1，2，3，…）．
（1）求證：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，并寫出a_n關(guān)于n的表達(dá)式；
（2）若數(shù)列{

1

anan+1

}前n項(xiàng)和為T_n，問滿足Tn＞

100

209

的最小正整數(shù)n是多少？．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)a_n=S_n-S_n-1求得a_n-a_n-1=2，進(jìn)而可推斷數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，公差為2．a(chǎn)₁=S₁為求得a₁，最后根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得a_n．
（2）把（1）中求得a_n代入T_n中，利用裂項(xiàng)法進(jìn)行求和，最后根據(jù)Tn＞

100

209

確定n的范圍．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=na_n-（n-1）a_n-1-2（n-1），得a_n-a_n-1=2（n=2，3，4，）．
所以數(shù)列{a_n}是以a₁=1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．
所以a_n=2n-1．
（Ⅱ）Tn=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

[(

1

1

-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

由Tn=

n

2n+1

＞

100

209

，得n＞

100

9

，滿足Tn＞

100

209

的最小正整數(shù)為12．

點(diǎn)評：本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和用裂項(xiàng)法對數(shù)列進(jìn)行求和．