Question

7．圓錐曲線C的極坐標(biāo)方程為：ρ²（1+sin²θ）=2．
（1）以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，求曲線C的直角坐標(biāo)方程，及曲線C的參數(shù)方程；
（2）直線l的極坐標(biāo)方程為$θ=\frac{π}{3}$（ρ∈R），若曲線C上的點(diǎn)M到直線l的距離最大，求點(diǎn)M的坐標(biāo)（直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)均可）．

Answer 1

分析 （1）利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程以及曲線C的參數(shù)方程即可；
（2）根據(jù)直線l的極坐標(biāo)方程（ρ∈R），可得直線l的直角坐標(biāo)方程，曲線C的參數(shù)方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得：M到直線的距離d，再利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由ρ²=x²+y²，ρsinθ=y，
得曲線C直角坐標(biāo)方程：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，
則曲線C的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$    （α為參數(shù)）              
（Ⅱ）直線l直角坐標(biāo)方程：y=$\sqrt{3}$x，
曲線C：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，
設(shè)直線m：y=$\sqrt{3}$x+t，
即直線m與曲線C相切時，切點(diǎn)M到直線l的距離最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x+t}\\{\frac{{x}^{2}}{2}{+y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得7x²+4$\sqrt{3}$tx+2t²-2=0，
△=48t²-56（t²-1）=0，
解得：t=±$\sqrt{7}$，x=±$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，y=±$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
所以M（$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，-$\frac{\sqrt{7}}{7}$）或M（-$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，$\frac{\sqrt{7}}{7}$）．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．