如圖所示，AB是⊙O的直徑，G為AB延長線上的一點，GCD是⊙O的割線，過點G作AB的垂線，交AC的延長線于點E，交AD的延長線于點F，過G作⊙O的切線，切

點為H.求證：（1）C，D，F(xiàn)，E四點共圓；

（2）GH2=GE·GF.

（1）連接BC.∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°.

∵AG⊥FG，∴∠AGE=90°.

又∠EAG=∠BAC，

∴∠ABC=∠AEG.

又∠FDC=∠ABC，

∴∠FDC=∠AEG.

∴∠FDC+∠CEF=180°.

∴C，D，F(xiàn)，E四點共圓.                                                     7分

（2）∵GH為⊙O的切線，GCD為割線，

∴GH2=GC·GD.

由C，D，F(xiàn)，E四點共圓，

得∠GCE=∠AFE，∠GEC=∠GDF.

∴△GCE∽△GFD.∴=，

即GC·GD=GE·GF.

∴CH2=GE·GF.        


解析:

（1）連接BC.∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°.

∵AG⊥FG，∴∠AGE=90°.

又∠EAG=∠BAC，

∴∠ABC=∠AEG.

又∠FDC=∠ABC，

∴∠FDC=∠AEG.

∴∠FDC+∠CEF=180°.

∴C，D，F(xiàn)，E四點共圓.                                                     7分

（2）∵GH為⊙O的切線，GCD為割線，

∴GH2=GC·GD.

由C，D，F(xiàn)，E四點共圓，

得∠GCE=∠AFE，∠GEC=∠GDF.

∴△GCE∽△GFD.∴=，

即GC·GD=GE·GF.

∴CH2=GE·GF.                                                            14分

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，AB是⊙O直徑，OD⊥弦BC于點F，且交⊙O于點E，若∠AEC=∠ODB．
（1）判斷直線BD和⊙O的位置關(guān)系，并給出證明；
（2）當AB=10，BC=8時，求BD的長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O圓周上不同于A、B的任意一點，PA⊥平面ABC，點E是線段PB的中點，點M在
AB
上，且MO∥AC．
（1）求證：BC⊥平面PAC；
（2）求證：平面EOM∥平面PAC．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，AB是⊙O的直徑，PA⊥平面⊙O，C為圓周上一點，AB=5cm，AC=2cm，則B到平面PAC的距離為
21
cm
21
cm
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•東莞二模）（幾何證明選講選做題）
如圖所示，AB是⊙O的直徑，過圓上一點E作切線ED⊥AF，交AF的延長線于點D，交AB的延長線于點C．若CB=2，CE=4，則AD的長為
24
5
24
5
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•揭陽一模）如圖所示，AB是⊙O的直徑，過圓上一點E作切線ED⊥AF，交AF的延長線于點D，交AB的延長線于點C．若CB=2，CE=4，則⊙O 的半徑長為
3
3
；AD的長為
24
5
24
5
．

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