Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+x+c（其中a，c是實數(shù)且為常數(shù)）．
（1）若f（x）＞2x的解集為{x|-2＜x＜1}，求a和c的值；
（2）解不等式f（x）＜（3-a）x+2+c．（審題注意：第一問結論不能用于第二問）

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）由題意得方程組，解出即可；（2）通過討論a的范圍，確定出不等式的解集．

解答： 解：（1）由f（x）＞2x得ax²-x+c＞0，
根據(jù)這個不等式的解集為{x|-2＜x＜1}知：
x₁=-2，x₂=1是方程ax²-x+c=0的兩個根且a＜0，
∴

x1+x2= 1 a =-1 x1x2= c a =-2

，解得a=-1，c=2；
（2）不等式f（x）＜（3-a）x+2+c化為：
ax²+（a-2）x-2＜0，
①當a=0時，解得x＞-1，
②當a＞0時不等式化為（ax-2）（x+1）＜0，
(x-

2

a

)(x+1)＜0，解得-1＜x＜

2

a

，
③當a=-2時不等式化為（x+1）²＞0，
∴x∈R且x≠-1，
④當-2＜x＜0時，不等式 （ax-2）（x+1）＜0化為：
(x-

2

a

)(x+1)＞0，由

2

a

＜-1得x＜

2

a

或x＞-1，
⑤當x＜-2時不等式 （ax-2）（x+1）＜0化為：
(x-

2

a

)(x+1)＞0，由

2

a

＞-1得x＜-1或x＞

2

a

，
綜上述不等式的解集為：
當x＜-2時{x|x＜-1或x＞

2

a

}
當a=-2時{x|x∈R且x≠-1}
當-2＜x＜0時{x|x＜

2

a

或x＞-1}
當a=0時{x|x＞-1}
當a＞0時{x|-1＜x＜

2

a

}．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質，不等式的解法，考查了分類討論思想，是一道中檔題．