Question

在銳角△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且2asinA=（2b-c）sinB+（2c-b）sinC．
（Ⅰ）求A的大��；
（Ⅱ）求表達(dá)式t=的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知2asinA=（2b-c）sinB+（2c-b）sinC，
根據(jù)正弦定理化簡得：2a²=b（2b-c）+c（2c-b），…（1分）
即a²=b²+c²-bc，
∴cosA==，…（3分）
又0＜A＜π，
∴A=；…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：B+C=π-A=，
設(shè)B=+α∈（0，），C=-α∈（0，），可得：-＜α＜，
∴t==
===tan（α+），…（8分）
∵-＜α＜，∴＜α+＜，
又函數(shù)y=tanx在區(qū)間（，）上是增函數(shù)，
∴tan＜t＜tan，…（10分）
又tan====2-，
tan=tan（-）===2+，
則表達(dá)式t=的取值范圍是（2-，2+）．…（12分）
分析：（Ⅰ）利用正弦定理化簡已知的等式，得到關(guān)于a，b及c的關(guān)系式，再利用余弦定理表示出cosA，把得到的關(guān)系式代入求出cosA的值，由A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)；
（Ⅱ）由第一問求出的A的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理求出B+C的度數(shù)，可設(shè)設(shè)B=+α∈（0，），C=-α∈（0，），進(jìn)而求出α的范圍，把設(shè)出的B和A代入表達(dá)式t=中，利用兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后，最后利用兩角和與差的正切函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)中化為一個角的正切函數(shù)，由α的范圍求出這個角的范圍為（，），根據(jù)正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到在此區(qū)間正切函數(shù)單調(diào)遞增，可得t的最小值為tan和及最大值為tan，同時利用兩角和與差的正切函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式分別求出tan和tan的值，即可得到所求表達(dá)式的取值范圍．
點(diǎn)評：此題考查了正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，兩角和與差的正切函數(shù)公式，以及正切函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．