（2010•邯鄲二模）設(shè)數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a5=14，a7=20，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，b1=
2
3
且3Sn=Sn-1+2（n≥2，n∈N），
（Ⅰ）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若cn=an•bn，n=1，2，3，…，Tn為數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和．求證：Tn＜
7
2
．
分析：（Ⅰ）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得d，易求a1，從而可得an，由3Sn=Sn-1+2得n≥3時(shí)，3Sn-1=Sn-2+2，兩式相減可得遞推式，根據(jù)遞推式可判斷{bn}為等比數(shù)列，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可求bn，注意n的范圍及檢驗(yàn)．
（Ⅱ）由（Ⅰ）易求cn，利用錯(cuò)位相減法可求得Tn，根據(jù)Tn可得結(jié)論；
解答：解：（Ⅰ） 由數(shù)列{an}為等差數(shù)列，得公差d=
1
2
(a7-a5)=3，
易得a1=2，所以an=3n-1．
由3Sn=Sn-1+2得，bn=2-2Sn，令n=1，則b1=2-2S1，
又S1=b1，所以b2=2-2（b1+b2），則b2=
2
9
．
由3Sn=Sn-1+2，當(dāng)n≥3時(shí)，得3Sn-1=Sn-2+2，
兩式相減得，3（Sn-Sn-1）=Sn-1-Sn-2，即3bn=bn-1，
bn
bn-1
=
1
3
，
又
b2
b1
=
1
3
，
所以{bn}是以
2
3
為首項(xiàng)，
1
3
為公比的等比數(shù)列，
于是bn=
2
3n
．
（Ⅱ）cn=an•bn=2（3n-1）•
1
3n
．
∴Tn=2[2•
1
3
+5•
1
32
+8•
1
33
+…+（3n-1）•
1
3n
]，
1
3
Tn=2[2•
1
32
+5•
1
33
+…+（3n-4）•
1
3n
+（3n-1）•
1
3n+1
]
兩式相減得，
2
3
Tn=2[3•
1
3
+3•
1
32
+3•
1
33
+…+3•
1
3n
-
1
3
-（3n-1）•
1
3n+1
]=2[3•
1
3
(1-
1
3n
)
1-
1
3
-
1
3
-（3n-1）•
1
3n+1
]，
所以 Tn=
7
2
-
7
2
•
1
3n
-
n
3n-1
，
從而Tn=
7
2
-
7
2
•
1
3n
-
n
3n-1
＜
7
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查由遞推式求數(shù)列通項(xiàng)公式、數(shù)列求和，錯(cuò)位相減法對(duì)數(shù)列求和是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，應(yīng)熟練掌握．
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a
=(
1
2
cosx，
3
sinx)，
b
=(4cosx，2cosx)，函數(shù)f(x)=
a
•
b
+k(k∈R)
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13
)n（n∈N*），
（Ⅰ）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若cn=an•bn，n=1，2，3，…，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．

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