Question

2．如圖，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率是$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過點（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）．設點A₁，B₁分別是橢圓的右頂點和上頂點，如圖所示過 點A₁，B₁引橢圓C的兩條弦A₁E、B₁F．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線A₁E與B₁F的斜率是互為相反數(shù)．
①求直線EF的斜率k₀ ②設直線EF的方程為y=k₀x+b（-1≤b≤1）設△A₁EF、△B₁EF的面積分別為S₁和S₂，求S₁+S₂的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意的離心率求得a與b關系，將（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）代入橢圓方程：$\frac{{x}^{2}}{4^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）①將直線方程分別代入橢圓方程，利用韋達定理求得E和F點坐標，根據(jù)直線的斜率公式，即可求得直線EF的斜率k₀；
②將直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理及弦長公式求得丨EF丨，利用點到直線的距離公式則A₁，B₁到直線EF的距離d₁，d₂，利用三角形的面積公式及函數(shù)的單調(diào)性即可求得S₁+S₂的取值范圍．

解答 解：（1）由題意可知：橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則3a²=4c²，b²=a²-c²=$\frac{1}{4}$a²，即a²=4b²，
將（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）代入橢圓方程：$\frac{{x}^{2}}{4^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，則$\frac{3}{4^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1$，
解得：b²=1，a²=4，
橢圓C的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）①設點E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），直線A₁E，y=k（x-2），直線B₁E：y=-kx+1，
則$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y得：（4k²+1）x²-16k²x+16k²-4=0，則2x₁=$\frac{16{k}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}$，x₁=$\frac{8{k}^{2}-2}{4{k}^{2}+1}$，
y₁=k（x₁-2）=$\frac{-4{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}$，則E（$\frac{8{k}^{2}-2}{4{k}^{2}+1}$，$\frac{-4{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}$），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-k+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y整理得：（4k²+1）x²-8kx=0，x₂=$\frac{8k}{4{k}^{2}+1}$，
y₂=-kx₂+1=$\frac{1-4{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}$，F(xiàn)（$\frac{8k}{4{k}^{2}+1}$，$\frac{1-4{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}$），則k_EF=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，
②設直線EF：y=$\frac{1}{2}$x+b，聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+b}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y得：x²+2bx+2b²-2=0，
△=（-2b）2-4（2b²-2）=8-4b²＞0，解得：-$\sqrt{2}$＜b＜$\sqrt{2}$，
x₁+x₂=-2b，x₁x₂=2b²-2，丨EF丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$$\sqrt{8-4^{2}}$，
設d₁，d₂分別為點A₁，B₁到直線EF的距離，則d₁=$\frac{丨1+b丨}{\sqrt{1+（\frac{1}{2}）^{2}}}$，d₂=$\frac{丨b-1丨}{\sqrt{1+（\frac{1}{2}）^{2}}}$，
則S₁+S₂=$\frac{1}{2}$•（d₁+d₂）丨EF丨=（丨b+1丨+丨b-1丨）$\sqrt{2-^{2}}$，
∵-1≤b≤1時，
∴S₁+S₂=2$\sqrt{2-^{2}}$，
由2$\sqrt{2-^{2}}$∈[2，2$\sqrt{2}$]，
S₁+S₂∈[2，2$\sqrt{2}$]，
S₁+S₂的取值范圍[2，2$\sqrt{2}$]．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，弦長公式，點到直線的距離公式，考查函數(shù)的最值與橢圓的應用，考查計算能力，屬于中檔題．