Question

10．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=$\frac{sinθ}{1-si{n}^{2}θ}$，在同一平面直角坐標(biāo)系中，將曲線C上的點按坐標(biāo)變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=\frac{1}{3}x}\\{y′=\frac{1}{4}y}\end{array}\right.$得到曲線C′．
（1）求曲線C′的普通方程；
（2）設(shè)點M的直角坐標(biāo)為（-2，0），直線l與曲線C′的交點為A，B，求|MA|•|MB|的值．

Answer 1

分析 （1）求出C的直角坐標(biāo)方程，將曲線C上的點按坐標(biāo)變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=\frac{1}{3}x}\\{y′=\frac{1}{4}y}\end{array}\right.$得到曲線C′的方程；
（2）把直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$代入y=$\frac{9}{4}$x²中，整理得9t²-20$\sqrt{2}$t+72=0，設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，由t得幾何意義可知|MA||MB|=|t₁t₂|．

解答 解：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=$\frac{sinθ}{1-si{n}^{2}θ}$，直角坐標(biāo)方程為y=x²．
將曲線C上的點按坐標(biāo)變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=\frac{1}{3}x}\\{y′=\frac{1}{4}y}\end{array}\right.$得到曲線C′的方程為y=$\frac{9}{4}$x²．
（2）把直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$代入y=$\frac{9}{4}$x²中，
整理得9t²-20$\sqrt{2}$t+72=0，
設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，
∴t₁t₂=9，
由t得幾何意義可知，|MA|•|MB|=|t₁t₂|=9．

點評 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化、直線方參數(shù)方程的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．