Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，有下列命題：
①存在直線l₁與正方體的所有棱都成等角α₁，且tanα₁=

2

；
②存在直線l₂與正方體的各面都成等角α₂，且tanα₂=

2

2

；
③存在平面M₁與正方體的各條棱所成的角都等于α₃，且sinα₃=

3

3

；
④存在平面M₂與正方體的各面所成的銳角都等于α₄，且sinα₄=

6

3

．
其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：空間角,簡易邏輯

分析：取正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，
①根據(jù)線線角的定義，結(jié)合正方體的12條棱，實際上就是三組平行直線，因此只要研究過一個頂點的三條棱即可，據(jù)此分析；
②同樣的道理根據(jù)線面角的定義，結(jié)合六個表面，其實是三組平行平面，只需考慮過同一頂點的三個面即可；
③取平面A₁C₁B，可以判斷，它與各棱所成的角都相等，要求該角的正弦值，只需研究正三棱錐B₁-A₁C₁B即可；
④取平面A₁C₁B，可以判斷，它與各面所成的銳角都相等，要求該角的正弦值，只需研究正三棱錐B₁-A₁C₁B即可．

解答： 解：做出正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，

設正方體棱長為1．在正方體中連接DB₁，交平面A₁BC₁于O，易知DB₁⊥面A₁BC₁，且O是正三角形A₁BC₁的中心，連接A₁O并延長交BC₁于M，則M是BC₁的中點，連接B₁M，則B₁M⊥BC₁．
因此對于①，存在直線DB₁與各條棱所成的角相等，且在直角三角形A₁OB₁中，B₁O=

1

3

DB₁=

3

3

，A1O=

2

3

AM=

2

3

×

3

2

A1B=

6

3

，∴tanα₁=

A1O

B1O

=

2

，故①正確；
對于②，存在直線B₁D與各個面所成的角相等，則∠OB₁M就是所求，易知α₂=∠OB₁M=∠A₁B₁M，所以tanα₂=

B1M

A1B1

=

2

2

，故②正確；
對于③，∠B₁A₁O的大小就是平面A₁BC₁與所有12條棱所成的銳角的大小，在直角三角形A₁B₁M中，A₁M=

A1B12+B1M2

=

6

2

，∴sinα2=

B1M

A1M

=

3

3

，故③正確；
對于④，存在平面A₁C₁B與各個面所成的二面角相等，且∠B₁MA₁就是所求角的平面角，易知sinα₄=

A1B1

A1M

=

1

6 2

=

6

3

，故④正確．
故答案為①②③④

點評：本題綜合考查了線線角、線面角、二面角的概念及求法，并且有一定難度，注意先將所求的角轉(zhuǎn)化為平面角再求解．