點(diǎn)P是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓上的一點(diǎn)，過焦點(diǎn)F2作∠F1PF2的外角平分線的垂線，垂足為M點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡是（ ）

A．拋物線
B．橢圓
C．雙曲線
D．圓
【答案】分析：P是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓上一點(diǎn)，過焦點(diǎn)F2作∠F1PF2外角平分線的垂線，垂足為M，延長F2M交F1延長線于Q，可證得PQ=PF2，且M是PF2的中點(diǎn)，由此可求得OM的長度是定值，即可求點(diǎn)M的軌跡的幾何特征．
解答：解：由題意，P是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓上一點(diǎn)，過焦點(diǎn)F2作∠F1PF2外角平分線的垂線，垂足為M，延長F2M交F1延長線于Q，得PQ=PF2，
由橢圓的定義知PF1+PF2=2a，故有PF1+PQ=QF1=2a，
連接OM，知OM是三角形F1F2Q的中位線
∴OM=a，即點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離是定值，由此知點(diǎn)M的軌跡是圓
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查求軌跡方程，關(guān)鍵是證出OM是中位線以及利用題設(shè)中所給的圖形的幾何特征求出QF1的長度，進(jìn)而求出OM的長度，再利用圓的定義得出點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)圓．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)P是以F1、F2為左、右焦點(diǎn)的雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)左支上一點(diǎn)，且滿足PF1⊥PF2，且|PF1|：|PF2|=2：3，則此雙曲線的離心率為（　�。�
A、
2
B、
3
C、
5
D、
13

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

點(diǎn)P是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓上一點(diǎn)，且∠PF1F2=α，∠PF2F1=2α，若α=
π6
，則橢圓的離心率為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•門頭溝區(qū)一模）點(diǎn)P是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓上的一點(diǎn)，過焦點(diǎn)F2作∠F1PF2的外角平分線的垂線，垂足為M點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若點(diǎn)P是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1上一點(diǎn)，滿足PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，則此雙曲線的離心率為
5
5
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2008•寶坻區(qū)一模）已知點(diǎn)P是以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)，若PF1⊥PF2，tan∠PF1F2=
1
2
，則此橢圓的離心率是（　�。�

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