Question

10．已知△ABC的外心O，a，b，c分別為∠A，∠B，∠C的對邊，且$\frac{\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BC}}{6}$+$\frac{\overrightarrow{BO}•\overrightarrow{CA}}{3}$+$\frac{\overrightarrow{CO}•\overrightarrow{AB}}{2}$=0，則a，b，c的關系為a²+c²=2b²，∠B的取值范圍為（0，$\frac{π}{3}$]．

Answer 1

分析 由題意把$\frac{\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BC}}{6}$+$\frac{\overrightarrow{BO}•\overrightarrow{CA}}{3}$+$\frac{\overrightarrow{CO}•\overrightarrow{AB}}{2}$=0變形，結(jié)合O為三角形的外心，進一步轉(zhuǎn)化為只含a，b，c的關系式，再由余弦定理及基本不等式求得，∠B的取值范圍．

解答 解：由$\frac{\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BC}}{6}$+$\frac{\overrightarrow{BO}•\overrightarrow{CA}}{3}$+$\frac{\overrightarrow{CO}•\overrightarrow{AB}}{2}$=0，得$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{BO}•\overrightarrow{CA}+3\overrightarrow{CO}•\overrightarrow{AB}=0$，
∴$\frac{1}{2}（{\overrightarrow{AC}}^{2}-{\overrightarrow{AB}}^{2}）+2×\frac{1}{2}（{\overrightarrow{BA}}^{2}-{\overrightarrow{BC}}^{2}）+3×\frac{1}{2}（{\overrightarrow{CB}}^{2}-{\overrightarrow{CA}}^{2}）=0$，
∴$\frac{1}{2}（^{2}-{c}^{2}）+{c}^{2}-{a}^{2}+\frac{3}{2}（{a}^{2}-^{2}）=0$，
整理得：a²+c²=2b²；
在△ABC中，cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{\frac{1}{2}（{a}^{2}+{c}^{2}）}{2ac}≥\frac{1}{2}$，
∴B∈（0，$\frac{π}{3}$]．
故答案為：a²+c²=2b²；（0，$\frac{π}{3}$]．

點評 本題考查向量的運算，考查學生的靈活變形能力和計算能力，解題的關鍵是熟練掌握向量的三角形法則，屬于中檔題．