Question

將如圖1的直角梯形ABEF（圖中數(shù)字表示對應(yīng)線段的長度）沿直線CD折成直二面角，連接部分線段后圍成一個空間幾何體，如圖2所示．
（I）證明：直線BE∥平面ADF；（文理均做）
（II）（理）求面FBE與面ABCD所成角的正切值．
（文）求證：平面BDF⊥ACF．

Answer 1

分析：對（I）證線面平行可通過證線線平行（取FD中點N，連接AN，證AN∥BE）來證；也可通過證面面平行（平面BCE∥平面FAD）來證．
對（II）（理）根據(jù)三垂線定理作二面角的平面角，即作出平面與平面的交線，射影垂直可得斜線垂直；再在△中求解即可．
對（II）（文），根據(jù)線面垂直⇒面面垂直，只需證AC垂直于平面FBD即可．

解答：（I）證明：取PD的中點N，連接EN，
∵EC⊥CD，ND⊥CD，CE=DN，∴四邊形CDNE為正方形，
∴EN∥CD∥AB，EN=CD=AB                            
∴四變形ABNE為平行四邊形，∴BE∥AN，∵AN?平面ADF，
∴BE∥平面ADF．                                        
（II）（理）延長PE交CD于M，∴平面FBE∩平面ABCD=BM，連接BD
∵CE∥PD，CE=

1

2

PD，
∴BC=DC=CM=1，BD=

2

，BM=

2

，DM=2
∴BD⊥BM，∵FD⊥平面ABCD，
由三垂線定理得PB⊥BM                     
∴∠FBD為二面角F-BM-D的平面角
在Rt△FBD中，F(xiàn)D=2，BD=

2

∴tan∠FBD=

2

2

=

2

．
∴面FBE與面ABCD所成角的正切值為

2

（文）連接AC，在正方形ABDC中AC⊥BD，又∵FD⊥AD，F(xiàn)D⊥CD，
∴FD⊥平面ABDC，∴FD⊥AC，
∵FD∩BD=D，
∴AC⊥平面FBD，∵AC?平面ACF，
∴平面BDF⊥平面ACF．

點評：幾何中的折疊問題，首先要分析折疊前、后的位置關(guān)系、幾何量的變與不變，畫好圖形，正確識圖是關(guān)鍵；另外解決空間問題的基本思路是利用轉(zhuǎn)化思想，一是空間問題⇒平面幾何問題，二是平行、垂直關(guān)系中線線?線面?面面．