Question

14．已知數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，其中第七項是1，第四項是8
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）數(shù)列{a_n}的前n項和記為S_n，證明：S_n＜128（n=1，2，3，…）．

Answer 1

分析 （1）利用等比數(shù)列通項公式列出方程組，求出首項和公比，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）利用等比數(shù)列前n項和公式進行證明．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，其中第七項是1，第四項是8，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{7}={a}_{1}{q}^{6}=1}\\{{{a}_{4}={a}_{1}q}^{3}=8}\end{array}\right.$，
解得a₁=64，q=$\frac{1}{2}$，
∴a_n=a₁q^n-1=64×（$\frac{1}{2}$）^n-1，
∴${a_n}={2^{7-n}}$．
（2）∵a₁=64，q=$\frac{1}{2}$，
∴S_n=$\frac{64（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=128-$\frac{128}{{2}^{n}}$，
∴${S_n}=128-\frac{128}{2^n}＜0$．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式的求法，考查等比數(shù)列的前n項和小于128的證明，是基礎題，解題時要認真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．