Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

1

2

，短軸長為2

3

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）從定點M（0，2）任作直線l與橢圓C交于兩個不同的點A、B，記線段AB的中點為P，試求點P的軌跡方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件推導出

c a = 1 2 2b=2 3 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓方程．
（2）設P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若直線l與x軸垂直，則P（0，0）；若直線l與x軸不垂直，設直線l的方程為y=kx+2，k≠0．由

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+2

，得（3+4k²）x²+16kx+4=0，再由

2x=x1+x2= -16k 3+4k2 y=kx+2

，能求出點P的軌跡方程．

解答： 解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

1

2

，短軸長為2

3

，
∴

c a = 1 2 2b=2 3 a2=b2+c2

，解得a=2，b=

3

，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）設P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
若直線l與x軸垂直，則P（0，0）；
若直線l與x軸不垂直，設直線l的方程為y=kx+2，k≠0．
由

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+2

，得（3+4k²）x²+16kx+4=0，…①
則

2x=x1+x2= -16k 3+4k2 y=kx+2

，將其消去k，得

3x2

4

+(y-1)2=1，
由①中△=（-16k）²-16（3+4k²）＞0，解得k2＞

1

4

，
則x=

-8k

3+4k2

=

-8

4k+ 3 k

∈[-

2 3

3

，0）∪（0，

2 3

3

]，y=

-8k2

3+4k2

+2=

6

3+4k2

∈（0，

3

2

）．
綜上，所求點P的軌跡方程為

3x2

4

+(y-1)2=1．y∈[0，

3

2

）．

點評：本題考查橢圓的方程的求法，考查點的軌跡方程的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．