Question

11．如圖1，以BD為直徑的圓O經(jīng)過A，C兩點，延長DA，CB交于P點，如圖2，將PAB沿線段AB折起，使P點在底面ABCD的射影恰為AD的中點Q，AB=BC=1，BD=2，線段PB，PC的中點為E，F(xiàn)．
（1）判斷四點A，D，E，F(xiàn)是否共面，并說明理由；
（2）求四棱錐E-ABCQ的體積．

Answer 1

分析 （1）利用三角形中位線定理及BC與AD不平行可得A、D、E、F四點共面；
（2）由已知通過求解三角形求得PQ，得到E到底面的距離，再求出四邊形ABCQ的面積，代入體積公式求得四棱錐E-ABCQ的體積．

解答 解：（1）結(jié)論：A、D、E、F四點不共面．
理由如下：
∵延長DA，CB交于P點，
∴DA與BC不平行，
又∵EF∥BC，
∴EF與AD不平行，
∴A、D、E、F四點不共面；
（2）由AB=BC=1，BD=2，得∠ADB=60°，AD=CD=$\sqrt{3}$，
又P點在底面ABCD的射影恰為AD的中點Q，可得平面PAD⊥平面ABCD，
且△PAD是邊長為$\sqrt{3}$的等邊三角形，∴PO=$\frac{3}{2}$，
又E為線段PB的中點，∴E到平面ABCD的距離為$\frac{3}{4}$．
S_ABCQ=S_△ADB+S_△CDB-S_△CDO=$2×2×\sqrt{3}×2×sin60°-\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}sin60°$=12-$\frac{3\sqrt{3}}{8}$．
∴${V}_{E-ABCQ}=\frac{1}{3}×（12-\frac{3\sqrt{3}}{8}）×\frac{3}{4}$=$3-\frac{3\sqrt{3}}{32}$．

點評 本題考查線面平行的判定，考查四棱錐體積的求法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．