【題目】已知函數(shù),若處的切線為

(Ⅰ)求實數(shù)的值;

(Ⅱ)若不等式對任意恒成立,求的取值范圍;

(Ⅲ)設(shè)其中,證明:

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ)證明見解析

【解析】

(Ⅰ)求出,,建立方程,求解即可得到結(jié)論;

(Ⅱ)結(jié)合(Ⅰ)中的結(jié)論,將問題轉(zhuǎn)化為對任意恒成立,令

,而是偶函數(shù),只需時,恒成立,注意,只需單調(diào)遞增即可,若存在單調(diào)遞減,則不恒成立,轉(zhuǎn)化為研究單調(diào)性,即可求解;

(Ⅲ)由,利用(Ⅱ)的結(jié)論,可得.進(jìn)而得到

,將分別用,代入得到個不等式,相加即可證明結(jié)論.

(Ⅰ)由,得

,得

根據(jù)題意可得,解得;

(Ⅱ)解法一:由不等式對任意恒成立知恒成立,令,

顯然為偶函數(shù),故當(dāng)時,恒成立.

,令,

,令,

顯然上的增函數(shù),故,

上單調(diào)遞增,

①當(dāng),即時,,

則有上單調(diào)遞增,故,

上單調(diào)遞增,故,符合題意;

②當(dāng),即時,因為

故存在,使得

上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

當(dāng)時,

上單謂遞減,故矛盾.

綜上,

解法二:由不等式對任意恒成立,

恒成立,當(dāng)時,不等式成立;

當(dāng)時,,令,

由于為偶函數(shù),故只需考慮的情況即可.

當(dāng)時,

,

,,

當(dāng)時,,故上單調(diào)遞增,

因此當(dāng)時,,故上單調(diào)遞增,

即有,故

所以上單調(diào)遞增,由洛必達(dá)法則有,故

(Ⅲ)解法一:

由(Ⅱ),當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立;,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立.故,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.

因此有,

,

以上個式子相加得

解法二:由(Ⅱ)知,

當(dāng)且僅當(dāng)時等號同時成立.

,

以上個式子相加得

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】平行四邊形ABCD中,∠A,2ABBC,E,F分別是BC,AD的中點.將四邊形DCEF沿著EF折起,使得平面ABEF⊥平面DCEF,得到三棱柱AFDBEC.

1)證明:DBEF;

2)若AB2,求三棱柱AFDBEC的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù).

(Ⅰ)討論單調(diào)性;

(Ⅱ)當(dāng)時,設(shè)函數(shù)存在兩個零點,求證:

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)

1)證明:函數(shù)fx)在(0,π)上是減函數(shù);

2)若, ,求m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的焦距為4.且過點

1)求橢圓E的方程;

2)設(shè),,,過B點且斜率為的直線l交橢圓E于另一點M,交x軸于點Q,直線AM與直線相交于點P.證明:O為坐標(biāo)原點).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在四棱錐中,相交于點,點在線段上,

1)求證:平面

2)若,求點到平面的距離.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程為,直線的極坐標(biāo)方程為,設(shè)交于兩點,中點為,的垂直平分線交、.為坐標(biāo)原點,極軸為軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系.

1)求的直角坐標(biāo)方程與點的直角坐標(biāo);

2)求證:.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某商場經(jīng)銷某商品,根據(jù)以往資料統(tǒng)計,顧客采用的付款期數(shù)的分布列為

1

2

3

4

5

P

0.4

0.2

0.2

0.1

0.1

商場經(jīng)銷一件該商品,采用1期付款,其利潤為200元;分2期或3期付款,其利潤為250元;分4期或5期付款,其利潤為300元,X表示經(jīng)銷一件該商品的利潤.

1)求事件A購買該商品的3位顧客中,至少有1位采用1期付款的概率;

2)求X的分布列及期望.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)分別是橢圓的左,右焦點,兩點分別是橢圓的上,下頂點,是等腰直角三角形,延長交橢圓點,且的周長為.

1)求橢圓的方程;

2)設(shè)點是橢圓上異于的動點,直線與直分別相交于兩點,點,求證:的外接圓恒過原點.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案