【題目】平行四邊形ABCD中,∠A,2AB=BC,E,F分別是BC,AD的中點(diǎn).將四邊形DCEF沿著EF折起,使得平面ABEF⊥平面DCEF,得到三棱柱AFD﹣BEC.
(1)證明:DB⊥EF;
(2)若AB=2,求三棱柱AFD﹣BEC的體積.
【答案】(1)證明見解析;(2)3
【解析】
(1)取EF的中點(diǎn)O,連接OD,OB,ED,FB,可得△BEF,△DEF是等邊三角形.可得OD⊥EF,OB⊥EF,由直線與平面垂直的判定可得EF⊥平面BOD,進(jìn)一步得到DB⊥EF;
(2)三棱柱AFD﹣BEC可分為四棱錐D﹣ABEF與三棱錐B﹣CDE.由(1)知OD⊥EF,結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得OD⊥平面ABEF,同理可證OB⊥平面DCEF,分別求出兩個(gè)棱錐的體積,作和得答案.
(1)證明:取EF的中點(diǎn)O,連接OD,OB,ED,FB,
可得△BEF,△DEF是等邊三角形.
∴OD⊥EF,OB⊥EF,
∵OD∩OB=O,∴EF⊥平面BOD,
而BD平面BOD,
∴DB⊥EF;
(2)解:三棱柱AFD﹣BEC可分為四棱錐D﹣ABEF與三棱錐B﹣CDE.
由(1)知OD⊥EF,而平面ABEF⊥平面DCEF,且交線為EF,
∴OD⊥平面ABEF.
同理可證OB⊥平面DCEF.
四棱錐D﹣ABEF的體積,
三棱錐B﹣CDE的體積,
∴三棱柱AFD﹣BEC的體積V=2+1=3.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱中,為等腰直角三角形,,D為BC的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)若,求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在等差數(shù)列{an}中,已知a1+a3=12,a2+a4=18,n∈N*.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求a3+a6+a9+…+a3n.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2020年1月底因新型冠狀病毒感染的肺炎疫情形勢(shì)嚴(yán)峻,避免外出是減少相互交叉感染最有效的方式.在家中適當(dāng)鍛煉,合理休息,能夠提高自身免疫力,抵抗該種病毒.某小區(qū)為了調(diào)查“宅”家居民的運(yùn)動(dòng)情況,從該小區(qū)隨機(jī)抽取了100位成年人,記錄了他們某天的鍛煉時(shí)間,其頻率分布直方圖如下:
(1)求a的值,并估計(jì)這100位居民鍛煉時(shí)間的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表);
(2)小張是該小區(qū)的一位居民,他記錄了自己“宅”家7天的鍛煉時(shí)長(zhǎng):
序號(hào)n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
鍛煉時(shí)長(zhǎng)m(單位:分鐘) | 10 | 15 | 12 | 20 | 30 | 25 | 35 |
(Ⅰ)根據(jù)數(shù)據(jù)求m關(guān)于n的線性回歸方程;
(Ⅱ)若(是(1)中的平均值),則當(dāng)天被稱為“有效運(yùn)動(dòng)日”.估計(jì)小張“宅”家第8天是否是“有效運(yùn)動(dòng)日”?
附;在線性回歸方程中,,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四棱錐中,是等邊三角形,點(diǎn)在棱上,平面平面.
(1)求證:平面平面;
(2)若,求直線與平面所成角的正弦值的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,右焦點(diǎn)到左頂點(diǎn)的距離為3.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)過原點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)(不在坐標(biāo)軸上),連接并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn),若,求四邊形面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯在他的著作《圓錐曲線論》中記載了用平面切制圓錐得到圓錐曲線的方法.如圖,將兩個(gè)完全相同的圓錐對(duì)頂放置(兩圓錐的軸重合),已知兩個(gè)圓錐的底面半徑為1,母線長(zhǎng)均為,記過圓錐軸的平面ABCD為平面(與兩個(gè)圓錐面的交線為AC、BD),用平行于的平面截圓錐,該平面與兩個(gè)圓錐側(cè)面的截線即為雙曲線E的一部分,且雙曲線E的兩條漸近線分別平行于AC、BD,則雙曲線E的離心率為( )
A.B.C.D.2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),若在處的切線為.
(Ⅰ)求實(shí)數(shù),的值;
(Ⅱ)若不等式對(duì)任意恒成立,求的取值范圍;
(Ⅲ)設(shè)其中,證明:
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