Question

2．若函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且在（0，+∞）為減函數(shù)，若f（2）=0，不等式（x-1）f（x-1）＞0的解集為（-∞，-1）∪（3，+∞）．

Answer 1

分析 由題意：定義在R上的奇函數(shù)，可得f（-x）=-f（x），在（0，+∞）為減函數(shù)，即在R上是減函數(shù)，f（2）=0，不等式（x-1）f（x-1）＞0．即可求解．

解答 解：定義在R上的奇函數(shù)，可得f（-x）=-f（x），在（0，+∞）為減函數(shù)，即在R上是減函數(shù)，
∵f（2）=0，則f（-2）=0．
令t=x-1，不等式（x-1）f（x-1）＞0轉(zhuǎn)化為tf（t）＞0．
當(dāng)t＞0時(shí)，則f（t）＜0，可得：t＞2，即x-1＞2，解得：x＞3；
當(dāng)t＜0時(shí)，則f（t）＞0，可得：t＜-2，即x-1＜-2，解得：x＜-1；
綜上所得：不等式（x-1）f（x-1）＞0的解集為（-∞，-1）∪（3，+∞）．
故答案為：（-∞，-1）∪（3，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)奇偶性的運(yùn)用和單調(diào)性的運(yùn)用．屬于中檔題．