【題目】太極圖被稱為“中華第一圖”．廣為人知的太極圖，其形狀如陰陽兩魚互抱在一起，因而被稱為“陰陽魚太極魚”．已知或，下列命題中：①在平面直角坐標(biāo)系中表示的區(qū)域的面積為；②，使得；③，都有成立；④設(shè)點(diǎn)，則的取值范圍是．其中真命題的個(gè)數(shù)為（ ）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

集合A表示的圖形，分別分析選項(xiàng)，得到正確答案，

①根據(jù)圖象，直接求判斷集合A的面積是圓面積的一半；

②轉(zhuǎn)化為兩圓是否相交問題；

③設(shè)，，表示斜率為的直線，表示縱截距，轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題；

④變形為，先求的范圍，最后求的范圍.

①如圖，根據(jù)對(duì)稱性可知，集合表示的面積占圓面積的一半，，故①不正確；

②，整理為，以為圓心，的圓，與的圓的圓心距，可知兩圓相交，有2個(gè)交點(diǎn)，所以，使得，故②正確；

③設(shè)，，表示斜率為的直線，表示縱截距，如圖，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，取得最大值，此時(shí)圓心到直線的距離，解得或，如圖，舍去，所以的最大值是，如圖，當(dāng)直線與相切時(shí)，取得最小值，圓心到直線的距離 ，，如圖舍去，所以的最小值是，所以，都有成立，③正確；

④，

設(shè)表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，

設(shè)，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離，解得，如圖可知，

當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，斜率，其他滿足條件的直線夾在這兩直線之間，所以，，，故④不正確.

故只有②③正確.

故選：B

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知橢圓：，長半軸長與短半軸長的差為，離心率為．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若在軸上存在點(diǎn)，過點(diǎn)的直線分別與橢圓相交于、兩點(diǎn)，且為定值，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

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【題目】某避暑山莊擬對(duì)一個(gè)半徑為1百米的圓形地塊（如圖）進(jìn)行改造，擬在該地塊上修建一個(gè)等腰梯形，其中，，圓心在梯形內(nèi)部，設(shè).當(dāng)該游泳池的面積與周長之比最大時(shí)為“最佳游泳池”.

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（2）求當(dāng)該游泳池為“最佳游泳池”時(shí)的值.

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【題目】某公司租用一個(gè)門店作展館，準(zhǔn)備對(duì)其公司生產(chǎn)的某型產(chǎn)品進(jìn)行為期一年的展出。為此，需對(duì)門店進(jìn)行裝修，展出結(jié)束，門店不再使用，現(xiàn)市面上有某品牌的型和型兩種節(jié)能燈，假定型節(jié)能燈使用壽命都超過小時(shí)，經(jīng)銷商對(duì)型節(jié)能燈使用壽命進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到如下頻率分布直方圖：

門店裝修時(shí)，需安裝該品牌節(jié)能燈支（同種型號(hào)）.經(jīng)了解，型瓦和B型瓦的兩種節(jié)能燈照明效果相當(dāng)，都適合安裝。已知型和型節(jié)能燈每支的價(jià)格分別為元、元，當(dāng)?shù)厣虡I(yè)電價(jià)為元/千瓦時(shí)。假定該店面一年周轉(zhuǎn)期的照明時(shí)間為小時(shí)，若正常營業(yè)期間燈壞了立即購買同型燈管更換。（用頻率估計(jì)概率）

（1）根據(jù)頻率直方圖估算B型節(jié)能燈的平均使用壽命；

（2）根據(jù)統(tǒng)計(jì)知識(shí)，若一支燈管一年內(nèi)需要更換的概率為，那么支燈管一年內(nèi)估計(jì)需要更換支.若該商家新店面全部安裝型節(jié)能燈，試估計(jì)一年內(nèi)需更換的支數(shù)；

（3）若只考慮燈的成本和消耗電費(fèi)，你認(rèn)為該商家應(yīng)選擇哪種型號(hào)的節(jié)能燈，請(qǐng)說明理由.

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【題目】2018年的政府工作報(bào)告強(qiáng)調(diào)，要樹立綠水青山就是金山銀山理念，以前所未有的決心和力度加強(qiáng)生態(tài)環(huán)境保護(hù).某地科技園積極檢查督導(dǎo)園區(qū)內(nèi)企業(yè)的環(huán)保落實(shí)情況，并計(jì)劃采取激勵(lì)措施引導(dǎo)企業(yè)主動(dòng)落實(shí)環(huán)保措施，下圖給出的是甲、乙兩企業(yè)2012年至2017年在環(huán)保方面投入金額（單位：萬元）的柱狀圖.

（Ⅰ）分別求出甲、乙兩企業(yè)這六年在環(huán)保方面投入金額的平均數(shù)；（結(jié)果保留整數(shù)）

（Ⅱ）園區(qū)管委會(huì)為盡快落實(shí)環(huán)保措施，計(jì)劃對(duì)企業(yè)進(jìn)行一定的獎(jiǎng)勵(lì)，提出了如下方案：若企業(yè)一年的環(huán)保投入金額不超過200萬元，則該年不獎(jiǎng)勵(lì)；若企業(yè)一年的環(huán)保投入金額超過200萬元，不超過300萬元，則該年獎(jiǎng)勵(lì)20萬元；若企業(yè)一年的環(huán)保投入金額超過300萬元，則該年獎(jiǎng)勵(lì)50萬元.

（ⅰ）分別求出甲、乙兩企業(yè)這六年獲得的獎(jiǎng)勵(lì)之和；

（ⅱ）現(xiàn)從甲企業(yè)這六年中任取兩年對(duì)其環(huán)保情況作進(jìn)一步調(diào)查，求這兩年獲得的獎(jiǎng)勵(lì)之和不低于70萬元的概率.

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（Ⅰ）分別求出甲、乙兩企業(yè)這六年在環(huán)保方面投入金額的平均數(shù)；（結(jié)果保留整數(shù)）

（Ⅱ）園區(qū)管委會(huì)為盡快落實(shí)環(huán)保措施，計(jì)劃對(duì)企業(yè)進(jìn)行一定的獎(jiǎng)勵(lì)，提出了如下方案：若企業(yè)一年的環(huán)保投入金額不超過200萬元，則該年不獎(jiǎng)勵(lì)；若企業(yè)一年的環(huán)保投入金額超過200萬元，不超過300萬元，則該年獎(jiǎng)勵(lì)20萬元；若企業(yè)一年的環(huán)保投入金額超過300萬元，則該年獎(jiǎng)勵(lì)50萬元.

（ⅰ）分別求出甲、乙兩企業(yè)這六年獲得的獎(jiǎng)勵(lì)之和；

（ⅱ）現(xiàn)從甲企業(yè)這六年中任取兩年對(duì)其環(huán)保情況作進(jìn)一步調(diào)查，求這兩年獲得的獎(jiǎng)勵(lì)之和不低于70萬元的概率.

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【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，證明：.（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

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【題目】已知橢圓: 的長軸長為4，左、右頂點(diǎn)分別為，經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)（不與點(diǎn)重合）.

（Ⅰ）當(dāng)，且直線 軸時(shí)， 求四邊形的面積；

（Ⅱ）設(shè)，直線與直線相交于點(diǎn)，求證：三點(diǎn)共線.

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【題目】將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角A－BD－C，有如下四個(gè)結(jié)論

①AC⊥BD；

②△ACD是等邊三角形；

③AB與平面BCD成60°的角；

④AB與CD所成的角是60°.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是________

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