Question

18．已知點O為坐標原點，點M在雙曲線C：x²-y²=λ（λ為正常數(shù)）上，過點M作雙曲線C的某一條漸近線的垂線，垂足為N，則|ON|+2|MN|的最小值為2$\sqrt{λ}$．

Answer 1

分析 設M為雙曲線的右支上一點，且M（m，n），m，n＞0，即有m²-n²=λ，求得漸近線方程，運用點到直線的距離公式和勾股定理，由二次方程的判別式法，解不等式即可得到所求范圍，即可得到最小值．

解答 解：設M為雙曲線的右支上一點，且M（m，n），m，n＞0，
即有m²-n²=λ，
雙曲線的一條漸近線方程為y=x，
即有|MN|=$\frac{|m-n|}{\sqrt{2}}$=$\frac{m-n}{\sqrt{2}}$，
由勾股定理可得|ON|=$\sqrt{O{M}^{2}-M{N}^{2}}$
=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}-（\frac{m-n}{\sqrt{2}}）^{2}}$=$\frac{m+n}{\sqrt{2}}$，
即有|ON|+2|MN|=$\frac{m+n}{\sqrt{2}}$+$\frac{2m-2n}{\sqrt{2}}$=$\frac{3m-n}{\sqrt{2}}$，
令3m-n=t，則n=3m-t，
代入m²-n²=λ，可得8m²-6mt+t²+λ=0，
由△≥0可得36t²-32（t²+λ）≥0，
解得t≥2$\sqrt{2λ}$或t≤-2$\sqrt{2λ}$（舍去），
即有|ON|+2|MN|的最小值為2$\sqrt{λ}$．
故答案為：2$\sqrt{λ}$．

點評 本題考查最值的求法，注意運用雙曲線的漸近線方程和點到直線的距離公式，以及勾股定理，考查運用判別式法求最值的方法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．