Question

13．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左．右焦點分別為F₁、F₂過點F₁并且垂直于x軸的直線為l．若過原點O和F₂并和直線l相切的圓的半徑等于點F₂到雙曲線C的兩條漸近線的距離之和．則雙曲線C的離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{7}}{2}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． $\frac{5}{3}$
• D． $\frac{4\sqrt{7}}{7}$

Answer 1

分析 由題意可得圓心的橫坐標為$\frac{c}{2}$，由圓與直線l相切，可得圓的半徑為$\frac{c}{2}$-（-c）=$\frac{3}{2}$c，求得雙曲線的漸近線方程，運用點到直線的距離公式可得d=b，可得2b=$\frac{3}{2}$c，運用a，b，c的關系和離心率公式計算可得．

解答 解：由圓過原點O和F₂（c，0），可得圓心的橫坐標為$\frac{c}{2}$，
直線l的方程為x=-c，由圓與直線l相切，
可得圓的半徑為$\frac{c}{2}$-（-c）=$\frac{3}{2}$c，
由雙曲線C的兩條漸近線為y=±$\frac{a}$x，
即有F₂到雙曲線C的漸近線的距離為d=$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=b，
由題意可得2b=$\frac{3}{2}$c，即為b²=$\frac{9}{16}$c²，
可得c²-a²═$\frac{9}{16}$c²，即c²=$\frac{16}{7}$a²，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{4\sqrt{7}}{7}$．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用漸近線方程以及圓與直線相切的條件：d=r，考查運算能力，屬于中檔題．