Question

19、設(shè)函數(shù)f（x）對(duì)任意x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時(shí)，f（x）＜0．
（1）證明：f（x）為奇函數(shù)；　　　　　
（2）證明：f（x）在R上為減函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性定義進(jìn)行判定，該函數(shù)是抽象函數(shù)，故可利用賦值法進(jìn)行，令x=y=0求出f（0）=0，令y=-x，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)題意先證明單調(diào)性，用單調(diào)性定義，先設(shè)設(shè)x₁，x₂是 （-∞，+∞）上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x₁＜x₂，f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）再由x＞0時(shí)，f（x）＜0來判斷符號(hào)，從而得到函數(shù)的單調(diào)性．

解答：證明：（1）由已知f（x+y）=f（x）+f（y）　　
令x=y=0得  f（0）=0
令y=-x，得f（x-x）=f（x）+f（-x）
∴f（x）+f（-x）=0∴f（x）為奇函數(shù)．
（2）設(shè)x₁，x₂是 （-∞，+∞）上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x₁＜x₂
∵x₂-x₁＞0，f（x₂-x₁）＜0
由（1）知f（x）為奇函數(shù)
∴f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＜0
∴f（x₂）＜f（x₁）∴f（x）在R上為減函數(shù)

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是抽象函數(shù)，涉及到其單調(diào)性，解決這類問題關(guān)鍵是利用好條件，將問題轉(zhuǎn)化到函數(shù)性質(zhì)的定義上去應(yīng)用．