Question

10．甲、乙兩艘救助船相距1海里，經(jīng)測量求救呼叫信號發(fā)出的位置與這兩船構(gòu)成的角度是救助船甲與救助船乙、求救呼叫信號發(fā)出的位置所構(gòu)成角度的一半，可以判斷三者構(gòu)成的三角形是銳角三角形，則求救呼叫信號發(fā)出的位置與救助船乙的距離范圍是（　�。�

• A． （1，2）
• B． （1，$\sqrt{2}$）
• C． （1，$\sqrt{3}$）
• D． （$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）

Answer 1

分析 作出三角形圖象，設(shè)C=α，則A=2α，根據(jù)銳角三角形得出α的取值范圍，利用正弦定理求出AC．根據(jù)α的范圍得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)甲救援船位置為A，乙救援船位置為B，呼救信號位置為C，設(shè)C=α，則A=2α，B=180°-3α，AB=1．
∵△ABC是銳角三角形，∴$\left\{\begin{array}{l}{2α＜90°}\\{180°-3α＜90°}\end{array}\right.$，解得30°＜α＜45°．
在△ABC中，由正弦定理得$\frac{AB}{sinα}$=$\frac{BC}{sin2α}$，即$\frac{1}{sinα}=\frac{BC}{2sinαcosα}$，∴BC=2cosα．
∵30°＜α＜45°，∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜cosα＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴$\sqrt{2}$＜2cosα＜$\sqrt{3}$．
故選D．

點(diǎn)評 本題考查了正弦定理，解三角形的實(shí)際應(yīng)用，屬于中檔題．