Question

5．已知f（x）=x²+2mx+（2m+1）．
（1）若f（x）=0得兩根分別為某三角形兩內(nèi)角的正弦值，求m的取值范圍；
（2）問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)m，使得f（x）=0的兩根是直角三角形兩個(gè)銳角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)f（x）=0的兩根分別為某三角形兩內(nèi)角的正弦值，利用二次函數(shù)根的分布列出關(guān)系式，求k的取值范圍；
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得f（x）=0的兩根是直角三角形兩個(gè)銳角的正弦值．然后利用利用韋達(dá)定理求出k的值，然后判斷即可．

解答 解：（1）設(shè)兩根為x₁，x₂．f（x）=x²+2mx+（2m+1）．
f（x）=0的兩根分別為某三角形兩內(nèi)角的正弦值，
則要滿足$\left\{\begin{array}{l}{4{m}^{2}-4（2m+1）≥0}\\{2m+1＞0}\\{1+2m+2m+1＞0}\\{0＜-m＜1}\end{array}\right.$，解得：-$\frac{1}{2}$＜m≤1-$\sqrt{2}$；
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得f（x）=0的兩根是直角三角形兩個(gè)銳角A、B的正弦值，
則A+B=90°，sinA=cosB，
∵sin²A+cos²A=1，
∴x₁²+x₂²=1，
∵x₁+x₂=-m，x₁x₂=2m+1
∴m²-2（2m+1）=1
∴m=1或3，
當(dāng)m=1時(shí)，原方程為：x²+2x+3=0，△＜0，不合題意．
當(dāng)m=3時(shí)，原方程為：x²+6x+7=0，x₁+x₂＜0，不合題意．
綜上，不存在實(shí)數(shù)k，使得f（x）=0的兩根是直角三角形兩個(gè)銳角的正弦值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，根的分布以及韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．