Question

已知向量=（2cos，1），=（cos，3cosx），設(shè)函數(shù)f（x）=（-）•．
（1）若?x∈R，f（x）≤a（a∈R），求a的取值范圍；
（2）在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且f（A）=4，a=，求△ABC的面積S的最大值．

Answer 1

解：（1）由題意，f（x）=（2cos+sin，1-3cosx）•（2cos，1）=sinx-cosx+3=sin（x-）+3
∴f（x）≤
∵?x∈R，f（x）≤a
∴a≥，即a的取值范圍為[，+∞）；
（2）∵f（A）=4，∴sin（A-）+3=4，∴sin（A-）=
∵A∈（0，π），∴A-=，∴A=
∵a=，∴b²+c²=10
∴△ABC的面積S=×（b²+c²）=，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=時(shí)等號(hào)成立
∴△ABC的面積S的最大值為．
分析：（1）利用向量的數(shù)量積公式計(jì)算，再利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，可得函數(shù)的值域，從而可求a的取值范圍；
（2）利用（1）的解析式及f（A）=4，求出A，根據(jù)a=，可得b²+c²=10，利用基本不等式，可得ABC的面積S的最大值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，考查三角形面積的計(jì)算，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．