Question

6．設(shè)銳角α終邊上一點P的坐標(biāo)是（3cosθ，sinθ），則函數(shù)y=θ-α（0＜θ＜$\frac{π}{2}$）的最大值是（　�。�

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 依題意可求tanα=$\frac{1}{3}$tanθ，利用兩角和的正切函數(shù)公式，基本不等式可得tany=tan（θ-α）=$\frac{tanθ-tanα}{1+tanθtanα}$=$\frac{2}{\frac{3}{tanθ}+tanθ}$≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，利用正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可解得函數(shù)y=θ-α（0＜θ＜$\frac{π}{2}$）的最大值．

解答 解：∵銳角α終邊上一點P的坐標(biāo)是（3cosθ，sinθ），y=θ-α（0＜θ＜$\frac{π}{2}$），
依題意tanα=$\frac{sinθ}{3cosθ}$=$\frac{1}{3}$tanθ，
∴tany=tan（θ-α）=$\frac{tanθ-tanα}{1+tanθtanα}$=$\frac{2tanθ}{3+ta{n}^{2}θ}$=$\frac{2}{\frac{3}{tanθ}+tanθ}$≤$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∵0＜θ＜$\frac{π}{2}$，
∴可得：θ∈（0，$\frac{π}{6}$]，即函數(shù)y=θ-α（0＜θ＜$\frac{π}{2}$）的最大值是$\frac{π}{6}$．
故選：A．

點評 本題主要考查了任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和的正切函數(shù)公式，基本不等式，正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想，考查了計算能力，屬于中檔題．