Question

5．設(shè)單調(diào)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，6S_n=a_n²+9n-4，a₁，a₂，a₆成等比數(shù)列．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=$\frac{6n-1}{{{{（{3n+1}）}^2}•a_n^2}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）由6S_n=a_n²+9n-4，n≥2時(shí)，6S_n-1=${a}_{n-1}^{2}$+9（n-1）-4，相減可得：a_n-3=±a_n-1，由于數(shù)列{a_n}是單調(diào)數(shù)列，可得a_n-a_n-1=3，因此數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，由a₁，a₂，a₆成等比數(shù)列，可得${a}_{2}^{2}$=a₁a₆，解出即可得出．
（II）由a_n=3n-2．可得b_n=$\frac{6n-1}{（3n+1）^{2}（3n-2）^{2}}$=$\frac{1}{3}[\frac{1}{（3n-2）^{2}}-\frac{1}{（3n+1）^{2}}]$，利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：（I）∵6S_n=a_n²+9n-4，∴n≥2時(shí)，6S_n-1=${a}_{n-1}^{2}$+9（n-1）-4，相減可得：6a_n=${a}_{n}^{2}$-${a}_{n-1}^{2}$+9，整理為$（{a}_{n}-3）^{2}$=${a}_{n-1}^{2}$，可得a_n-3=±a_n-1，
∵數(shù)列{a_n}是單調(diào)數(shù)列，∴a_n-a_n-1=3，
∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，公差為3．
∵a₁，a₂，a₆成等比數(shù)列，
∴${a}_{2}^{2}$=a₁a₆，化為：$（{a}_{1}+3）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+3×5）$，化為a₁=1．
∴a_n=1+3（n-1）=3n-2．
（II）∵a_n=3n-2．
∴b_n=$\frac{6n-1}{（3n+1）^{2}（3n-2）^{2}}$=$\frac{1}{3}[\frac{1}{（3n-2）^{2}}-\frac{1}{（3n+1）^{2}}]$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{1}{3}[（1-\frac{1}{{4}^{2}}）$+$（\frac{1}{{4}^{2}}-\frac{1}{{7}^{2}}）$+…+$（\frac{1}{（3n-2）^{2}}-\frac{1}{（3n+1）^{2}}）]$
=$\frac{1}{3}（1-\frac{1}{（3n+1）^{2}}）$=$\frac{3{n}^{2}+2n}{（3n+1）^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推關(guān)系、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．