Question

15．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A、B，左、右焦點(diǎn)分別是F₁，F(xiàn)₂，在線段AB上有且只有一個(gè)點(diǎn)P滿足PF₁⊥PF₂，則橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 由題意可求得AB的方程，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入AB得方程，由PF₁⊥PF₂，得$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，結(jié)合橢圓的離心率的性質(zhì)即可求得答案．

解答 解：依題意，作圖如下
∵A（-a，0），B（0，b），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
∴直線AB的方程為：$\frac{x}{-a}$+$\frac{y}$=1，整理得：bx-ay+ab=0，
設(shè)直線AB上的點(diǎn)P（x，y）
則bx=ay-ab，
∴x=$\frac{a}$y-a，
∵PF₁⊥PF₂，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-c-x，-y）•（c-x，-y）=x²+y²-c²
=（$\frac{a}y-a$）²+y²-c²，
令f（y）=（$\frac{a}y-a$）²+y²-c²，
則f′（y）=2（$\frac{a}$y-a）×${\;}^{\frac{a}}$+2y，
∴由f′（y）=0得：y=$\frac{{a}^{2}b}{{a}^{2}+^{2}}$，于是x=-$\frac{a^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（$\frac{-a^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$）²+（$\frac{{a}^{2}b}{{a}^{2}+^{2}}$）²-c²=0，
整理得：$\frac{{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$=c²，又b²=a²-c²，e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$，
∴e⁴-3e²+1=0，
∴e²=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$，又橢圓的離心率e∈（0，1），
∴e²=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$=（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）²，
∴橢圓的離心率為e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的性質(zhì)，考查向量的數(shù)量積，考查直線的方程，著重考查橢圓性質(zhì)的應(yīng)用，是重點(diǎn)更是難點(diǎn)，屬于難題．