Question

【題目】已知函數(shù)在x = 2處的切線與直線垂直．

（Ⅰ）求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若存在，使成立，求m的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函數(shù)f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，1]，單調(diào)遞增區(qū)間是[1，+∞)；（Ⅱ）m的最小值是5.

【解析】試題分析：1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（2）的值，求出a，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）問(wèn)題等價(jià)于當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，成立，設(shè)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可．

試題解析：

（Ⅰ）

由已知，，解得：a = 1

∴

當(dāng)時(shí)，，f (x)是減函數(shù)

當(dāng)時(shí)，，f (x)是增函數(shù)

∴函數(shù)f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，1]，單調(diào)遞增區(qū)間是[1，+∞)．

（Ⅱ）解：∵，∴等價(jià)于

即存在，使成立，∴

設(shè)，則

設(shè)，則

∴h (x)在上單調(diào)遞增.

又h (3) < 0，h (4) > 0，∴h (x)在上有唯一零點(diǎn)，設(shè)為x0，則，且

又，∴m的最小值是5．