Question

15．已知如圖幾何體，正方形ABCD和矩形ABEF所在平面互相垂直，AF=2AB=2AD=2，M為AF的中點(diǎn)，BN⊥CE，垂足為N．
（Ⅰ）求證：CF∥平面BDM；
（Ⅱ）求二面角M-BD-N的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接AC，BD交于O，連接MO，由三角形中位線定理可得OM∥CF，再由線面平行的判定得答案；
（Ⅱ）分別以AD，AB，AF所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面MBD與平面DNB的一個法向量，利用兩個平面法向量所成角求得二面角M-BD-N的大小．

解答 （Ⅰ）證明：連接AC，BD交于O，連接MO，
∵M(jìn)為AF的中點(diǎn)，∴OM∥CF，
∵OM?平面BDM，CF?平面BDM，
∴CF∥平面BDM；
（Ⅱ）解：分別以AD，AB，AF所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵AF=2AB=2AD=2，M為AF的中點(diǎn)，BN⊥CE，
∴D（1，0，0），B（0，1，0），M（0，0，1），N（$\frac{4}{5}$，1，$\frac{2}{5}$），
則$\overrightarrow{DM}=（-1，0，1）$，$\overrightarrow{BM}=（0，-1，1）$，
設(shè)平面MBD的一個法向量為$\overrightarrow{m}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DM}=-{x}_{1}+{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BM}=-{y}_{1}+{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，取z₁=1，得$\overrightarrow{m}=（1，1，1）$；
$\overrightarrow{DN}=（-\frac{1}{5}，1，\frac{2}{5}）$，$\overrightarrow{BN}=（\frac{4}{5}，0，\frac{2}{5}）$，
設(shè)平面DNB的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DN}=-\frac{1}{5}{x}_{2}+{y}_{2}+\frac{2}{5}{z}_{2}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BN}=\frac{4}{5}{x}_{2}+\frac{2}{5}{z}_{2}=0}\end{array}\right.$，取x₂=1，得$\overrightarrow{n}=（1，1，-2）$．
則cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1×1+1×1-2×1}{\sqrt{3}×\sqrt{6}}=0$．
∴二面角M-BD-N的大小為90°．

點(diǎn)評 本題考查直線與平面平行的判定，考查了利用空間向量求二面角的平面角，考查空間想象能力和計算能力，是中檔題．